(转)
错排：
设 \((a_1,a_2,...,a_n)\) 是 \(\{1,2,...,n\}\) 的全排列，若对任意的 \(i\in\{1,2,..,n\}\)都有 \(a_i\ne i\)，则称 \((a_i,a_2,...,a_n)\) 是 \(\{1,2,...,n\}\) 的错位排列。
用 \(D_n\) 表示 \(\{1,2,...,n\}\) 的错位排列的个数，有：\(D_n=n!*(1-\frac1 1!+\frac1 2!-\frac1 3!+...+\frac{(-1)^n}n!)\)
圆排列：
从 n 个不同元素中选取 r 个元素，不分首尾地围成一个圆圈的排列叫做圆排列，其排列方案数为：\(\frac{A(n,r)}{r}\)
当 r=n 时，则为圆排列的全排列，其排列方案数为：\(\frac{n!}{n}=(n-1)!\)
第二类斯特林数：
\(S(n,m)\) 表示有 \(n\) 个有区别小球，要放进 \(m\) 个相同盒子里，且每个盒子非空的方案数
考虑一个很容易的递推：
\[S(n,m)=S(n−1,m−1)+m∗S(n−1,m)\]
考虑组合意义：
假设前面的 \(n−1\) 个球丢进了 \(m−1\) 个组，因为每个组非空，所以这个球只有一种选择，自己一组
如果前面的球已经分成了 \(m\) 组，那么，这个球就有 \(m\) 种放法
通项公式：
\(S(n,m)=\frac 1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^kC(m,k)(m−k)^n\)
假设盒子有区别，并且我们允许空盒的存在
显然的，\(m^n\) 就是答案
但是不允许空盒存在 所以容斥一下
枚举当前有几个空盒子存在
把这几个盒子选出来，也就是 \(C(m,k)\)
然后剩下 \(m−k\) 个盒子，\(n\) 个球可以随便放，也就是 \((m−k)n\)
最后退出来，我们盒子是没有区别的，所以除以一个 \(m!\)
那么，怎么算
考虑一下组合意义，把 \(n\) 个有区别的小球分给有区别的 \(m\) 个盒子里，允许空盒的方案数
第二类斯特林数是什么？
\(S(n,m)\) 表示 \(n\) 个球丢进 \(m\) 个相同盒子里，不允许空盒
那枚举一下有 \(i\) 个盒子不是空的
再把球丢进盒子就是 \(S(n,i)∗i\)
\[m^n=\sum_{i=0}^mS(n,i)∗i!∗C(m,i)\]
如果要算第二类斯特林数，除了 \(n^2\) 的递推有没有别的方法呢？
显然是有的
重新看看上面用容斥和组合意义得到的式子
\[S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^kC(m,k)(m−k)^n\]
整理一下
\[\begin{aligned}
S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^m(−1)^k\frac{m!}{k!(m−k)!}(m−k)^n\\
S(n,m)=\frac1{m!}\sum_{k=0}^mm!\frac{(−1)^k}{k!}\frac{(m−k)^n}{(m−k)!}\\
S(n,m)=\sum_{k=0}^m\frac{(−1)^k}{k!}\frac{(m−k)^n}{(m−k)!}
\end{aligned}\]
可以用多项式卷积求出 \(S(n,X)\)
复杂度 \(O(nlogn)\)
放球问题：
| n个球是否有区别 | m个盒是否有区别 | 是否允许空盒 | n是否大于m | 方案数 | 简要解释 |
|---|---|---|---|---|---|
| 是 | 是 | 是 | 是 | \[m^n\] | 每个球有m种可能 |
| 是 | 是 | 是 | 否 | \[m^n\] | 每个球有m种可能 |
| 是 | 是 | 否 | 是 | \[m!S(n,m)\] | 类比盒无区别时，再乘以盒的可能排列 |
| 是 | 是 | 否 | 否 | \[0\] | 盒比球多，必有空盒 |
| 是 | 否 | 是 | 是 | \[S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,m)\] | 枚举有球盒的数量，再利用斯特林数 |
| 是 | 否 | 是 | 否 | \[S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,n)\] | 枚举有球盒的数量，再利用斯特林数 |
| 是 | 否 | 否 | 是 | \[S(n,m)\] | 根据斯特林数定义 |
| 是 | 否 | 否 | 否 | \[0\] | 盒比球多，必有空盒 |
| 否 | 是 | 是 | 是 | \[C_{m+n-1}^n\] | 插板法或根据可重组合计算公式 |
| 否 | 是 | 是 | 否 | \[C_{m+n-1}^n\] | 插板法或根据可重组合计算公式 |
| 否 | 是 | 否 | 是 | \[C_{n-1}^{m-1}\] | 先给每盒放一球，然后利用n-m个球，m个盒子有空盒的解 |
| 否 | 是 | 否 | 否 | \[0\] | 盒比球多，必有空盒 |
| 否 | 否 | 是 | 是 | \[G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}中x^n的系数\] | 母函数方法 |
| 否 | 否 | 是 | 否 | \[G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^n)}中x^n的系数\] | 母函数方法 |
| 否 | 否 | 否 | 是 | \[G(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)...(1-x^m)}中x^{n-m}的系数\] | 母函数方法 |
| 否 | 否 | 否 | 否 | \[0\] | 盒比球多，必有空盒 |