题意:已知\(n(n<=20)\)个正整数：\(a_1,a_2,……,a_n\) .今要将它们分成\(m(2<=m<=6)\)组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小.均方差公式如下：
分析:首先根据公式各组数据和的平均值是\(ave\)已知的,即\((\sum_{i=1}^na[i])/m\),所以要最小化均方差,我们只需要最小化\(\sum_{i=1}^m(sum_i-ave)^2\)就好了,其中\(sum_i\)表示分成的第i段的和,这个显然是可以\(dp\)求的.设\(f[i][j]\)表示将序列前i个数分成j段,\(\sum_{i=1}^j(sum_i-ave)^2\)的最小值.那么\(f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+(s[i]-s[k]-avs)^2)\),其中\(s[]\)表示序列的前缀和.
那么现在的问题就是如何找到"序列"呢?因为根据题意这n个正整数是可以任意排列的.所以就要用到模拟退火来随机出排列.
这道题的各种参数还比较好调,一下就过去了.
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<queue> #include<map> #include<set> #define ll long long using namespace std; inline int read(){ int x=0,o=1;char ch=getchar(); while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar(); if(ch=='-')o=-1,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*o; } const int N=21; int n,m,tot,a[N],sum[N]; double ave,ans,f[N][8]; inline double dp(){ for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+a[i];//预处理前缀和 for(int i=0;i<=n;++i)for(int j=0;j<=n;++j)f[i][j]=0x3f; f[0][0]=0;//初始化,其余为无穷大值 for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=1;j<=m;++j){ for(int k=0;k<i;++k) f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+(sum[i]-sum[k]-ave)*(sum[i]-sum[k]-ave)); } } return (double)sqrt(f[n][m]*1.0/m);//根据公式来求均方差 } inline void mnth(){ double T=2333,eps=1e-6; while(T>eps){ int x=rand()%n+1,y=rand()%n+1;//随机出两个数组下标 if(x==y){T*=0.998;continue;} swap(a[x],a[y]); double now=dp(),delta=now-ans; if(delta<0)ans=now; else if(exp(-delta/T)*RAND_MAX>rand())ans=now; else swap(a[x],a[y]);//不能更新答案的话记得换回来 T*=0.998; } } int main(){ srand((int)time(NULL));n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),tot+=a[i]; ave=(double)tot*1.0/m;ans=dp();mnth();printf("%.2lf\n",ans); return 0; } 
