神经网络反向传播的数学原理(转)

人走茶凉 提交于 2019-12-01 05:38:23

如果能二秒内在脑袋里解出下面的问题,本文便结束了。

已知:

,其中

求:



到这里,请耐心看完下面的公式推导,无需长久心里建设。

首先,反向传播的数学原理是“求导的链式法则” :

的可导函数,则

接下来介绍

  • 矩阵、向量求导的维数相容原则
  • 利用维数相容原则快速推导反向传播
  • 编程实现前向传播、反向传播
  • 卷积神经网络的反向传播

快速矩阵、向量求导

这一节展示如何使用链式法则、转置、组合等技巧来快速完成对矩阵、向量的求导

一个原则维数相容,实质是多元微分基本知识,没有在课本中找到下列内容,维数相容原则是我个人总结:

维数相容原则:通过前后换序、转置 使求导结果满足矩阵乘法且结果维数满足下式:

如果

, 

,那么

利用维数相容原则解上例:

step1:把所有参数当做实数来求导,

依据链式法则有

可以看出除了

的求导结果在维数上连矩阵乘法都不能满足。

step2:根据step1的求导结果,依据维数相容原则做调整:前后换序、转置

依据维数相容原则

,但

,自然得调整为

同理:

,但 

,那么通过换序、转置我们可以得到维数相容的结果

对于矩阵、向量求导:

  • “当做一维实数使用链式法则求导,然后做维数相容调整,使之符合矩阵乘法原则且维数相容”是快速准确的策略;
  • “对单个元素求导、再整理成矩阵形式”这种方式整理是困难的、过程是缓慢的,结果是易出错的(不信你试试)。


如何证明经过维数相容原则调整后的结果是正确的呢?直觉!简单就是美...

快速反向传播

神经网络的反向传播求得“各层”参数

的导数,使用梯度下降(一阶GD、SGD,二阶LBFGS、共轭梯度等)优化目标函数。

接下来,展示不使用下标的记法(

or

)直接对

求导,反向传播是链式法则和维数相容原则的完美体现,对每一层参数的求导利用上一层的中间结果完成。

这里的标号,参考UFLDL教程 - Ufldl

前向传播:

 (公式1)

 (公式2)

为第

层的中间结果,

为第

层的激活值,其中第

层包含元素:输入

,参数

,激活函数

,中间结果

,输出

设神经网络的损失函数为

(这里不给出具体公式,可以是交叉熵、MSE等),根据链式法则有:

这里记 

,其中

 、 

可由 公式1 得出,

加转置符号

是根据维数相容原则作出的调整。

如何求 

? 可使用如下递推(需根据维数相容原则作出调整):



其中

、 

那么我们可以从最顶层逐层往下,便可以递推求得每一层的

注意:

是逐维求导,在公式中是点乘的形式。

反向传播整个流程如下:

1) 进行前向传播计算,利用前向传播公式,得到隐藏层和输出层 的激活值。

2) 对输出层(第

层),计算残差:

(不同损失函数,结果不同,这里不给出具体形式)

3) 对于

的隐藏层,计算:

4) 计算各层参数

偏导数:





编程实现

大部分开源library(如:caffe,Kaldi/src/{nnet1,nnet2})的实现通常把

作为一个layer,激活函数

作为一个layer(如:sigmoid、relu、softplus、softmax)。

反向传播时分清楚该层的输入、输出即能正确编程实现,如:

 (公式1)

 (公式2)

 

(1)式AffineTransform/FullConnected层,以下是伪代码:

注: out_diff = 

 是上一层(Softmax 或 Sigmoid/ReLU的 in_diff)已经求得:

 (公式 1-1)

 (公式 1-2)

 (公式 1-3)

 

(2)式激活函数层(以Sigmoid为例)

注:out_diff = 

是上一层AffineTransform的in_diff,已经求得,

在实际编程实现时,in、out可能是矩阵(通常以一行存储一个输入向量,矩阵的行数就是batch_size),那么上面的C++代码就要做出变化(改变前后顺序、转置,把函数参数的Vector换成Matrix,此时Matrix out_diff 每一行就要存储对应一个Vector的diff,在update的时候要做这个batch的加和,这个加和可以通过矩阵相乘out_diff*input(适当的转置)得到。

如果熟悉SVD分解的过程,通过SVD逆过程就可以轻松理解这种通过乘积来做加和的技巧。

丢掉那些下标记法吧!

 

卷积层求导

卷积怎么求导呢?实际上卷积可以通过矩阵乘法来实现(是否旋转无所谓的,对称处理,caffe里面是不是有image2col),当然也可以使用FFT在频率域做加法。

那么既然通过矩阵乘法,维数相容原则仍然可以运用,CNN求导比DNN复杂一些,要做些累加的操作。具体怎么做还要看编程时选择怎样的策略、数据结构。

 

快速矩阵、向量求导之维数相容大法已成。

易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容,如有违反法律规定的内容欢迎反馈
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!