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一、什么是优先队列

优先队列（Priority Queue）：特殊的队列，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

问题是：如何组织优先队列？我们可以通过以下三种方法：

一般的数组、链表
有序的数组或者链表
二叉搜索树？AVL树？

若采用数组或链表实现优先队列，我们可以看看它们在队列操作时的时间复杂度：

数组：
- 插入：元素总是插入尾部——\(\Theta(1)\)
- 删除：查找最大（或最小）关键字——\(\Theta(n)\)
  - 从数组中删除时需要移动元素——\(O(n)\)
链表：
- 插入：元素总是插入链表的头部——\(\Theta(1)\)
- 删除：查找最大（或最小）关键字——\(\Theta(n)\)
  - 删除结点——\(\Theta(1)\)
有序数组：
- 插入：找到合适的位置——\(O(n)或O(log_2n)\)
  - 移动元素并插入——\(O(n)\)
- 删除：删除最后一个元素——\(\Theta(1)\)
有序链表：
- 插入：找到合适的位置——\(O(n)\)
  - 插入元素——\(\Theta(1)\)
- 删除：删除首元素或最后元素——\(\Theta(1)\)

从上，我们可以看出，如果使用数组或链表的方式实现优先队列，在插入或者删除中，总会有一个操作方法的时间复杂度为O(n)，因此我们是否可以考虑采用二叉树存储结构。

二、什么是堆

对于优先队列，如果采用二叉树存储结构，我们应该考虑一下两个问题：

是否可以采用二叉搜索树？
如果采用二叉树结构，应该更加关注插入还是删除
1. 树结点顺序怎么安排？
2. 树结构怎样？

处于对上述问题的考虑，我们可以使用完全二叉树表示优先队列，如下图所示：

从上图我们可以看出堆的两个特性：

结构性：用数组表示的完全二叉树；

有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）

最大堆（MaxHeap），也称大顶堆：最大值
最小堆（MinHeap），也称小顶堆：最小值

下图为最大堆图片：

下图为最小堆图片：

从上述两幅图中，我们可以看出：从根节点到任意结点路径上结点序列的有序性！

下图为不是堆的图片：

三、堆的抽象数据类型描述

类型名称：最大堆（MaxHeap）

数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值

操作集：最大堆\(H\in{MaxHeap}\)，元素\(item\in{ElementType}\)，主要操作有：

MaxHeap Create(int MaxSize)：创建一个空的最大堆；
Boolean IsFull(MaxHeap H)：判断最大堆H是否已满；
Insert(MaxHeap H, ElementType item)：将元素item插入最大堆H；
Boolean IsEmpty(MaxHeap H)：判断最大堆H是否为空；
ElementType DeleteMax(MaxHeap H)：返回H中最大元素（高优先级）。

四、最大堆的操作

4.1 最大堆的创建

/* c语言实现 */  typdef struct HeapStruct *MaxHeap; struct HeapStruct{   ElementType *Elements; // 存储堆元素的数组   int Size; // 堆的当前元素个数   int Capacity; // 堆的最大容量 }  MaxHeap Create(int MaxSize) {   // 创建容量为MaxSize的空的最大堆   MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));   H->Elements = malloc((MaxSize + 1) * sizeof(ElementType));   H->Size = 0;   H->Capacity = MaxSize;   H->Elements[0] = MaxData; // 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作  // 把MaxData换成小于堆中所有元素的MinData，同样适用于创建最小堆   return H; }

4.2 最大堆的插入

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

/* c语言实现 */  void Insert(MaxHeap H, ElementType item) {   // 将元素item插入最大堆H，其中H-Elements[0]已经定义为哨兵   int i;   if (IsFull(H)) {     printf("最大堆已满");     return ;   }   i = ++H->Size; // i指向插入后堆中的最后一个元素的位置   for (; H->Elements[i/2] < item; i /= 2)     H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; // 向下过滤结点   H->Elements[i] = item; // 将item插入 }

该插入操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

其中H->Element[0]是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制顺环结束，如下图所示：

4.3 最大堆的删除

取出根节点（最大值）元素，同时删除堆的一个结点。

/* c语言实现 */  ElementType DeleteMax(MaxHeap H) {   // 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点   int Parent, Child;   ElementType MaxItem, temp;   if (IsEmpty(H)){     printf("最大堆已为空");     return;   }   MaxItem = H->Elements[1]; // 取出根结点最大值   // 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点   temp = H->Elements[H->Size--];   for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent=Child) {     Child = Parent * 2;     if ((Child != H->Size) &&         (H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]))       Child ++; // Child指向左右子结点的较大者     if (temp >= H->Elements[Child]) break;     else // 移动temp元素到下一层       H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];   }   H->Elements[Parent] = temp;   return MaxItem; }

该删除操作的时间复杂度为：T(N) = O(log N)

4.4 最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)

方法2：通过下述2个步骤，在线性时间复杂度下建立最大堆

将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性

最大堆的建立如下图所示：

通过上图的演示，我们可以去测算最大堆建立时的线性复杂度为下图所示：

五、Python实现堆

5.1 上浮 shift up

小根堆中越小的元素应该越在上面。以上图中6号位置元素1为例，它比它的父节点2小，则它应该和2交换位置，此时1在2号位置。这时1还比它的父节点8小，则它和8交换位置，1在0号位置了。此时1的位置是合理的。这个过程就叫上浮。总结一下就是：

从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点小，就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则结束。

5.2 下沉 shift_down

下沉的目的是让大元素沉在堆的下面。还以上图的子树为例，0位置的8的子节点5和2都比它小，最小的是2，则2和8交换位置，8沉到2号位置，此时它的子节点7和1也都比它小，最小的是1，那就和1交换位置，8沉到了6号位置，结束。

总结出下沉操作过程就是让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则结束。

5.3 插入 push

在向堆中插入元素时，我们总是将它放在堆的最后的位置，然后将它上浮，这样就能继续维持堆数据的有序性了。

5.4 弹出 pop

弹出操作演出的是堆顶的元素，也就是完全二叉树的根节点。若直接弹出根节点，则原来的一棵完全二叉树就变成两棵完全二叉树，这样对继续维护堆造成困难，此时我们将二叉树中最后位置的元素放到根节点位置，这样又是一棵完全二叉树了，然后将现在的根元素下沉就行。

以上是堆的一些操作的基本原理，但在python中实现堆时，操作过程略有不同。为了节省内存，在执行上浮操作时，不是逐次交换位置，而是拿着要上浮的元素去比较，找到合适的位置。下沉操作也是一样。

# python语言实现  class Heap:     def __init__(self, elist):         self._elems = list(elist)         if elist:             self.buildheap()      def is_empty(self):         return not self._elems      # 取堆顶元素     def peek(self):         if self.is_empty():             raise ValueError("堆为空")         return self._elems[0]      # 上浮     def siftup(self, e, last):         elems, i, j = self._elems, last, (last - 1) // 2         while i > 0 and e < elems[j]:             elems[i] = elems[j]             i, j = j, (j - 1) // 2         elems[i] = e      # 插入     def push(self, e):         self._elems.append(None)         self.siftup(e, len(self._elems) - 1)      # 下沉     def siftdown(self, e, begin, end):         elems, i, j = self._elems, begin, begin * 2 + 1         while j < end:             if j + 1 < end and elems[j + 1] < elems[j]:                 j += 1             if e < elems[j]:                 break             elems[i] = elems[j]             i = j             j = 2 * j + 1         elems[i] = e      # 弹出     def pop(self):         if self.is_empty():             raise ValueError("堆为空")         elems = self._elems         e0 = elems[0]         e = elems.pop()         if len(elems) > 0:             self.siftdown(e, 0, len(elems))         return e0      # 从数组构建堆     def buildheap(self):         end = len(self._elems)         for i in range(end // 2 - 1, -1, -1):             self.siftdown(self._elems[i], i, end)

来源：https://www.cnblogs.com/nickchen121/p/11567806.html

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