咕了两个月的我（如果不算Luogu的题解）终于回来写博了qwq，因为我的数据结构知识一直很薄弱，每次考试老是失分，所以我决定写一写关于图论的博客，最近一段时间也正好在复习这部分，这篇博客的内容会涉及到：树与图的遍历，树的深度，图的联通块，拓扑排序，树的重心，最短路，最小生成树，并查集，Tarjan与图的连通性，树的直径，LCA，树链剖分，负环。文章内容与lyd的《算法竞赛进阶指南》重合度比较高（因为我就是按照他的书来复习的），同时文章以讲解为辅，代码为主，适合各位同学复习而并非初学者接触。
所有模板都是我手打的，也许有错误，欢迎批评指正弱弱的我qwq。
声明
博客中如果没有特殊说明，则默认是n个点和无向图，文中会使用vector，邻接表，邻接矩阵这三种方式来存储。
树与图的遍历
树与图的存储方式是相同的，遍历可以采用dfs和bfs这两种方式。
深度优先遍历与深度
众所周知写这个只是为了知识的完整性，大家随便看看就行。
dep是深度数组。
void dfs(int u)
{
vis[u]=true;
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if(vis[v]) continue;
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
}
}
广度优先遍历
bfs并没有dfs常用，用队列q来存储，每次遇到一个节点u，就入队，然后依次入队它的子节点，如果子节点也全部入队，就把u出队，又入队它第一个子节点的所有子节点，以此类推...
eg:
入队标蓝，出队标红，这张图的bfs模拟过程如下：
1 234
234 5
345
45 6
56 7
67 8
78 9
89
代码的实现很简单。
void bfs()
{
memset(d,0,sizeof(d));
q.push(1);
d[1]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front(),q.pop();
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if(d[v]) continue;
d[v]=d[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
我们可以看到图中有一个d数组，d[u]的作用是存储从1遍历到节点u所需经过的最少点数，qwq但是请大家不要妄想能用这个来求最短路，stO青君大佬。
bfs的遍历有两个性质：
1.在访问完节点i的所有节点后，才会开始访问节点i+1。
2.队列中的元素至多有两个层次的节点，第一部分属于i层，第二部分属于i+1层，所有i的节点排在i+1的节点之前，也就是说，bfs遍历满足两段性和单调性，这也是它的基本性质。
树的dfs序
一般地，我们在dfs时，在刚进入递归前和即将回溯之前各记录一次该点的编号，最后产生的2n长节点的序列就是dfs序，如果用a[N>>1]存储dfs序，l[ ]和r[ ]分别存递归前和回溯前的cnt，a[ l [ u ] ]和a[ r [ u ] ]这一段记录的就是u节点的子树，由此可以很好地把树上操作转化为区间问题~！
代码简短也好理解。
void dfs(int u)
{
vis[u]=true;
l[u]=++cnt;
// a[cnt]=u;
for(int h[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if(vis[v]) continue;
dfs(v);
}
r[u]=++cnt;
// a[cnt]=u;
}
树的重心和子树大小
如果一棵树有v1~vk个节点，并且以v1~vk为根的子树大小是siz[v1]~siz[vk]，那么以u为根的子树大小是siz[u]=siz[v1]+...+siz[vk]，也就是说siz数组用来存储节点的子树大小（包括节点本身）。
树的重心指的是，如果我们把一个节点u从树中删除，那么原来的一棵树可能会分成若干个不同的部分，如果在删除一个节点后，剩下的所有子树中最大的一棵是最小的，那么这个被删去的节点称为树的重心，对于无权图，大小一般指的是节点个数。
代码简短好理解，如下。
void dfs(int u)
{
max_point=0;
siz[u]=1;
vis[u]=true;
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if(vis[v]) continue;
dfs(v);//要先遍历子节点才能找到子节点的siz值 qwq为什么总是忘记dfs 我有罪
siz[u]+=siz[v];
max_point=max(max_point,siz[v]);
}
max_point=max(max_point,n-siz[u]);
if(max_point<ans)
{
ans=max_point;
pos=u;
}
}
图的连通块划分
经过多次dfs，可以找出一张图的每一个连通块，不会连通块的同学可以去看看知识点再做两道题，这个很简单，不赘述了。
void dfs(int u)
{
scc[u]=cnt;
for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].v;
if(scc[v]) continue;
scc[v]=cnt;
dfs(v);
}
}
int main()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!scc[i]) dfs(i);
}