1 二分法学习笔记总结

参考

https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/solution/te-bie-hao-yong-de-er-fen-cha-fa-fa-mo-ban-python-/
https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/solution/er-fen-cha-zhao-suan-fa-xi-jie-xiang-jie-by-labula/

1.1 取中位数索引的方法

传统的方法 int mid = (left + right) /2 ,在 left 和 right 比较大的时候，两者相加很可能超过 int 类的最大值，即发现整型溢出；
改进 int mid = left + (right - left) /2
最好的写法 int mid = (left + right) >>> 1

>>, 右移时，丢弃右边指定位数，左边补上符号位；
>>>, 无符号右移运算符，丢弃右边指定的位数，左边补上 0 。所以对负数右移，可以变成正数；

1.2 循环条件

while (left <= right),退出循环时，要考虑返回 left 和 right;

2 二分查找模板思想

2.1 循环条件

while (left < right), 在退出循环的时候，一定有 left == right,这时返回 left 或者 right 都可以；
退出循环的时候还有一个数没有考虑，即退出循环之前索引 left 或者索引 right 上的值？这点可以等到退出循环以后考虑，甚至有时不用考虑，就确定它是目标数；

2.2 左、右边界值

如果左、右边界值不包括目标数，会出现错误；
如果 left 和 right 表示的是数组的索引，要考虑“索引有效性的问题”，即 索引是否越界；

2.3 中位数索引

中位数先写 int mid = (left + right) >>> 1,然后根据分支的情况，再做调整；

当数组个数是偶数的时候：

int mid = left + (right -left) / 2, 得到左中位数的索引
int mid = left + (right -left + 1) / 2, 得到右中位数的索引

当数组个数是奇数的时候，二者都能得到最中间的元素

int mid = left + (right -left) / 2 等价于 int mid = (left + right) >>> 1
int mid = left + (right -left + 1) / 2 等价于 int mid = (left + right + 1) >>> 1

2.4 逻辑分支

先写逻辑上最容易想到的分支，这个分支逻辑通常是排除中位数的逻辑；
例如，求 x 的平方根时，如果一个数的平方小于或者等于 x, 那么这个数可能是也可能不是 x 的平方根；但是可以肯定的是，如果一个数的平方大于 x ,这个数肯定不是 x 的平方根；
所以先写 “容易想到”的分支，排除中位数之后，通常另一个分支就不排除中位数，不必具体考虑另一个分支的逻辑的具体含义；

在循环内只写 2 个分支，一个分支排除中位数，另一个分支不排除中位数，循环中不单独对中位数做判断；
“夹逼法”，没有必要在每一轮循环开始前单独判断当前中位数是否是目标元素，因此分支数少了一支，代码执行效率高
可能出现以下 2 种模板

在这里插入图片描述

2.5 左、右中位数的选取

根据分支逻辑选择中位数的类型，选择的标准是避免出现死循环

当候选区间只剩下两个元素的时候，进入中位数是左边界的逻辑，由于左边界不收缩，下一次循环还选左中位数，左边界还不收缩，如此下去，进入了死循环。解决方案：使用右中位数；
在这里插入图片描述

当候选区间只剩下 2 个元素的时候，一旦进入中位数是右边界的逻辑，由于右边界不收缩，下一次循环还选右中位数，右边界还不收缩，如此下去，进入了死循环；解决方法：换成左中位数
在这里插入图片描述

2.6 退出循环的处理

退出循环的时候，可能需要对“夹逼法”剩下的那个数单独做一次判断；
如果能确定候选区间里一定有目标元素，则不需要这一步。例如：x 的平方根一定在 [0,x] 内，所以退出 while ( left < right) 后，不必单独判断 left 或者 right 是否符合；
如果不确定候选区间里是否存在目标元素，则需要单独做一次判断。因为目标数可能不在数组中，当候选区间变成一个数的时候，需要单独判断这个数是否为目标数。

3 死循环代码测试

public static int testSqrt(int x) throws InterruptedException {
        if (x == 1 || x == 0) {
            return x;
        }

        int left = 1;
        int right = x / 2;

        while (left < right) {

            Thread.sleep(1000);

            System.out.println("left = " + left + ",right= " + right);

            // 在分支左区间不发生收缩时，中位数要选右中位数

            int mid = (left + right) >>> 1;
            System.out.println("mid = " + mid);

            int square = mid * mid;

            if (square > x) {
                System.out.println("进入 right = mid -1 分支");

                right = mid - 1;
            } else {
                System.out.println("进入 left=mid 分支");
                left = mid;
            }

            System.out.println();
        }

        return left;

    }

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
        int res = testSqrt(9);
        System.out.println(res);
    }