容斥原理相关

一.补集转化.

有些计数题直接做并不好做，但是统计所有情况和它的反面情况更加容易的时候，我们就可以考虑用所有情况减去反面情况来做.

形式化的，若集合$S$的大小不好求，但是对于一个集合$U$满足$S \subseteq U$，$U$的大小很好求，而且同时$S$的补集$\complement_{U}^{S}$的大小也很好求，那么就可以使用这个式子：
$|S|=|U|-|\complement_{U}^{S}|$

很多计数题中都需要用到这个套路，我们称这个套路为补集转化.


二.容斥原理.

考虑对于一种情况下，我们要求$\bigcup_{i=1}^{n}S_i$的大小，但是那并不好求怎么办？

考虑两个集合的情况，可以补集转化，先分别加上$S_1$和$S_2$的大小，再减去$S_1\cap S_2$的大小.

形式化的，即：
$|S_1\cup S_2|=|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|$

考虑三个集合的情况，仍然是补集转化，先分别加上$S_1,S_2,S_3$的大小，再减去$S_1\cap S_2,S_1\cap S_3,S_2\cap S_3$的并的大小.

但是我们会发现这三个交的并的大小也并不好求，考虑再次补集转化，变为分别减去$S_1\cap S_2,S_1\cap S_3,S_2\cap S_3$的大小，再加上$S_1\cap S_2\cap S_3$的大小.

形式化的，即：
$|S_1\cup S_2\cup S_3|=|S_1|+|S_2|+|S_3|-|S_1\cap S_2|-|S_1\cap S_3|-|S_2\cap S_3|+|S_1\cap S_2\cap S_3|$

一次类推，我们可以得到一个结论.即$n$个集合的并的大小等于这$n$个集合的大小之和减去所有两个集合的交的大小之和，再加上所有三个集合的交的大小之和，再减去…

形式化的，即：
$\left|\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right|=\sum_{T\subseteq [n],T=\not{}\empty}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{i\in T}S_i\right|$

我们称这个结论为容斥原理.

当然容斥原理反过来也是正确的，即：
$\left|\bigcap_{i=1}^{n}S_i\right|=\sum_{T\subseteq [n],T=\not{}\empty}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcup_{i\in T}S_i\right|$

三.严谨证明容斥原理.

证明：
考虑数学归纳法，假设现在已经加入了$n$个集合：
1.当$n=1,2$时，定理显然成立.
2.当$n>2$时，假设$k<n$时定理成立，则$k=n$时有：
$\left|\bigcup_{i=1}^{k}S_i\right|=\left|\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}S_i\right)\cup S_k\right|\\ =\left|\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}S_i\right)\right|+|S_k|-\left|\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}S_i\right)\cap S_k\right|\\ =\left|\left(\bigcup_{i=1}^{k-1}S_i\right)\right|+|S_k|-\left|\bigcup_{i=1}^{k-1}(S_i\cap S_k)\right|\\ =\sum_{T\subseteq [k-1]}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{i\in T}S_i\right|+|S_k|+\sum_{T\subseteq [k-1]}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{i\in T}(S_i\cap S_k)\right|\\ =\sum_{T\subseteq [k-1]}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{i\in T}S_i\right|+|S_k|+\sum_{T\subseteq [k-1]}(-1)^{|T|-1}\left|\left(\bigcap_{i\in T}S_i\right)\cap S_k\right|\\ =\sum_{T\subseteq [k]}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{i\in T}S_i\right|$

证毕.


四.二项式反演.

二项式反演具体有三个形式：
$f_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{j}\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{j}\binom{i}{j}f_j\\ f_i=\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\binom{i}{j}f_j\\ f_i=\sum_{j=i}^{n}\binom{j}{i}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j$

这个东西具体的证明啥的就去参考二项式定理相关吧…


五.广义容斥原理.

我们把二项式反演看成容斥原理在对于任意$k$满足$k$个集合的交的贡献都相等的情况就行了，这样式子就变得清晰了很多.

具体来说，如果$i$个集合并起来的贡献为$f_i$，那么式子$f_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{j}\binom{i}{j}g_j$中的$g_i$就表示$i$个集合交起来的贡献，这是我们熟知的容斥原理，但是我们突然发现交的贡献也可以通过并的贡献来求出了.

那么这个式子在贡献不同的情况下是否成立呢？当然是成立的，也就是说我们有了一个新的公式.

广义容斥原理：
$f\left(\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}f\left(\bigcap_{i\in T}S_i\right)\Leftrightarrow f\left(\bigcap_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}f\left(\bigcup_{i\in T}S_i\right)$

当然这个式子在乘积的意义下也是成立的，即：
$f\left(\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right)=\prod_{T\subseteq [n]}f^{(-1)^{|T|-1}}\left(\bigcap_{i\in T}S_i\right)\Leftrightarrow f\left(\bigcap_{i=1}^{n}S_i\right)=\prod_{T\subseteq [n]}f^{(-1)^{|T|-1}}\left(\bigcup_{i\in T}S_i\right)$

当然我们还可以构造出一个等价的式子（注意这个式子中必须算入空集的贡献）：
$f\left(\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}f\left(\bigcap_{i\in T}S_i\right)\Leftrightarrow f\left(\bigcap_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{n-|T|}f\left(\bigcup_{i\in T}S_i\right)$

六.min-max反演.

min-max反演算是上面广义容斥原理的一个应用，它的作用是用反演实现一个集合内元素的min和max之间的转化.

我们将每一个整数$n$看成一个集合$S(n)=\{1,2,3,...,n\}$，那么集合$S$对应的原数就是$\max\{S\}$.

显然我们有：
$\min_{i=1}^{n}\{a_i\}=\max\left( \bigcap_{i=1}^{n} S(a_i)\right)\\ \max_{i=1}^{n}\{a_i\}=\max\left( \bigcup_{i=1}^{n} S(a_i) \right)$

定义$\max(\empty)=0$.

然后就可以推导：
$\max_{i=1}^{n}\{a_i\}=\max\left\{\bigcup_{i=1}^{n}S(a_i)\right\}\\ =\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}\max\left\{ \bigcap_{i=1}^{m}S(a_i) \right\}\\ =\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}\min_{i\in T}\{a_i\}$

同理有：
$\min_{i=1}^{n}\{a_i\}=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}\max_{i\in T}\{a_i\}$

那么我们得到了一个反演，称之为min-max反演：
$\max_{i=1}^{n}\{a_i\}=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}\min_{i\in T}\{a_i\}\Leftrightarrow \min_{i=1}^{n}\{a_i\}=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}\max_{i\in T}\{a_i\}$

根据期望的线性性，这个式子在期望的意义下仍然成立，即：
$E\left(\max_{i=1}^{n}\{a_i\}\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}E\left(\min_{i\in T}\{a_i\}\right)\Leftrightarrow E\left(\min_{i=1}^{n}\{a_i\}\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}E\left(\max_{i\in T}\{a_i\}\right)$

七.多重集的广义容斥原理.

对于多重集$S_1=\{c1_x*x\},S_2\{c2_x*x\}$，分别定义它们的并和交为：
$S_1\cup S_2=\{x\in S_1\cup x\in S_2|\max\{c1_x,c2_x\}*x\}\\ S_1\cap S_2=\{x\in S_1\cap x\in S_2|\min\{c1_x,c2_x\}*x\}$

对于这个意义下的多重集，集合的广义容斥原理仍然成立，有：
$f\left(\bigcup_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}f\left(\bigcap_{i\in T}S_i\right)\Leftrightarrow f\left(\bigcap_{i=1}^{n}S_i\right)=\sum_{T\subseteq [n]}(-1)^{|T|-1}f\left(\bigcup_{i\in T}S_i\right)$

至于为什么成立，可以把多重集中每个元素$x$看成$x_{1},x_{2},\cdots,x_{c_x}$，只是它们的贡献是相同的（相当于一个二维的广义容斥原理），这样就可以把式子转化为普通集合的广义容斥原理了.

同样的，多重集的广义容斥原理在乘积的意义下同样成立.


八.gcd-lcm反演.

与min-max反演类似，gcd-lcm反演是通过多重集的广义容斥原理来推导出一个集合的gcd和lcm之间的反演关系式的.

我们考虑把一个数$n$唯一分解成素因数，记这个素因数多重集为$S(n)$.

然后我们定义函数$f(S)$表示将$S$内的所有数的乘积，即$f(S)=\prod_{i\in S}i$.

显然我们有：
$gcd_{i=1}^{n}(a_i)=f\left( \bigcap_{i=1}^{n}S(a_i) \right)\\ lcm_{i=1}^{n}(a_i)=f\left( \bigcup_{i=1}^{n}S(a_i) \right)$

定义$\max(\empty)=1$.

开始推导：
$lcm_{i=1}^{n}\{a_i\}=f\left(\bigcup_{i=1}^{n} S(a_i)\right)\\ =\prod_{T\subseteq [n]}f^{(-1)^{|T|-1}}\left(\bigcap_{i=1}^{n}S(a_i)\right)\\ =\prod_{T\subseteq[n]}gcd^{(-1)^{|T|-1}}_{i\in T}(a_i)$

反过来也是一样的，所以gcd-lcm反演即：
$lcm_{i=1}^{n}\{a_i\}=\prod_{T\subseteq[n]}gcd^{(-1)^{|T|-1}}_{i\in T}(a_i)\Leftrightarrow gcd_{i=1}^{n}\{a_i\}=\prod_{T\subseteq[n]}lcm^{(-1)^{|T|-1}}_{i\in T}(a_i)$

来源：https://blog.csdn.net/hzk_cpp/article/details/98999919