题目
二维平面坐标系中有N个点。从N个点选择3个点，问有多少选法使得这3个点形成直角三角形。
输入
第一行包含一个整数N(3\(\leqslant\)N$\leqslant\(1500)，表示点数。 接下来N行，每行包含两个用空格隔开的整数表示每个点的坐标，坐标值在\)-10^9$到\(10^9\)之间。每个点位置互不相同。
输出
输出直角三角形的数量。
样例
| 输入 | 输出 |
|---|---|
| 3 4 2 2 1 1 3 |
1 |
| 4 5 0 2 6 8 6 5 7 |
0 |
| 5 -1 1 -1 0 0 0 1 0 1 1 |
7 |
题解
固定一个点P，平移整个坐标系，使得P为原点。现在，对于每个点，首先确定其所在的象限，然后将其旋转k•90°（k∈Z），使其落在第一象限中。之后，按照过点的正比例函数的斜率k(纵坐标除以横坐标)对所有点进行排序。如果两个点斜率相同并且旋转之前在相邻的象限中，它们就能形成以P为直角顶点的直角三角形。排序后，对于每一组斜率相同的点，统计它们原来在每个象限的点的个数，并将相邻象限的点的数量相乘。时间复杂度为\(O(N^2logN)\)。（这就是为什么\(O(N^3)\)的暴力枚举在加一堆玄学优化后也能卡过：因为正解的时间复杂度也不低）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
int x[1510],y[1510];
ll ans=0;
struct node{
ll x,y;
int qua;
};
node cpy[1510];
bool cmp(node a,node b){
return a.y*b.x<a.x*b.y;
//将不等式变形成两边都是乘法运算，避免除法运算带来的精度损失
}
void rotate(int m){
if(cpy[m].x==0 && cpy[m].y==0) return;//如果是原点，无需旋转
cpy[m].qua=1;
while(cpy[m].x<=0 || cpy[m].y<0){
swap(cpy[m].x,cpy[m].y);
cpy[m].y=-cpy[m].y;
cpy[m].qua++;//如果一个点需要顺时针旋转n次才落在第一象限，那么其原象限为n+1
//最多旋转3次（原来在第四象限），所以这里无需像隔壁熊泽恩同学写的那样取模
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&x[i],&y[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cpy[j].x=x[j]-x[i];
cpy[j].y=y[j]-y[i];
rotate(j);
}
swap(cpy[1],cpy[i]);//不要把原点给算进去了
sort(cpy+2,cpy+n+1,cmp);
int j=2;
while(j<=n){
int cnt[5]={0};
int k=j;
while(k<=n && cpy[j].y*cpy[k].x==cpy[j].x*cpy[k].y){
cnt[cpy[k].qua]++;
k++;
}
for(int t=1;t<4;t++) ans+=cnt[t]*cnt[t+1];
ans+=cnt[1]*cnt[4];
j=k;
}
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}