之前两回分别介绍了二元一次方程组和三元一次方程组的解法, 那里都是很具体的例子. 可能大家觉得之前太简单了, 没关系, 这一回我们稍微抽象一点, 考虑一般情形. 抽象挑战会大一些, 但确是揭示事情本质的. 如果看完本节觉得一头雾水, 没关系, 不妨先跳过本节, 看看后面几回的例子, 再跳回来看. 如果看完本节觉得很有道理, 那么恭喜你, 有点上路了.
为了表示任意多个变量, 我们不再用\(x,y,z\)来记变量, 而是采取下标写法, 用\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)来记变量.
\[
\left\{
\begin{split}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\
&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\
&\qquad\qquad\qquad\cdots \\
&a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m
\end{split}
\right..
\]
如果所有的系数\(a_{ij}\)都是\(0\), 那么该方程组的解只有两种情形. 一种是所有的\(b_i\)都为\(0\), 此时任意\(x_i\)都是它的解. 另外一种是某个\(b_i\neq0\), 此时无解.
如果\(a_{ij}\)不全为\(0\), 但是所有\(x_1\)前面的系数\(a_{i1}\)都为\(0\), 那么一定可以交换方程组的两个变量使得第一列的系数不全为\(0\). 所以下面的讨论中, 可以不妨假设\(a_{11}\neq 0\).
具体的解法是用\(-a_{i1}/a_{11}\)乘以第\(1\)行加到第\(i\)行上, 这样可以使得第\(i\)行\(x_1\)前面的系数为\(0\). 得到
\[
\left\{
\begin{split}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\
&0+\hat{a}_{22}x_2+\cdots+\hat{a}_{2n}x_n = \hat{b}_2\\
&\qquad\qquad\qquad\cdots \\
&0+\hat{a}_{m2}x_2+\cdots+\hat{a}_{mn}x_n = \hat{b}_m
\end{split}
\right..
\]
然后一直重复该过程, 直至最后.
当\(m>n\)时, 方程个数偏多, 方程组可以化成
\[
\left\{
\begin{split}
&\tilde{a}_{11}x_1+0+\cdots+0 = \tilde{b}_1\\
&0+\tilde{a}_{22}x_2+\cdots+0 = \tilde{b}_2\\
&\qquad\qquad\cdots \\
&0+0+\cdots+\tilde{a}_{nn}x_n = \tilde{b}_n\\
&0+0+\cdots+0 = \tilde{b}_{n+1}\\
&\qquad\qquad\cdots \\
&0+0+\cdots+0 = \tilde{b}_m
\end{split}
\right..
\]
这时候就看\(\tilde{b}_{n+1},\cdots,\tilde{b}_m\)是否全为\(0\), 如果不全部为\(0\), 那么方程组就没解(因为有矛盾的式子). 如果全部为\(0\), 那么方程组就有解
$$x_1=\frac{\tilde{b}_1}{\tilde{a}_{11}},\cdots,x_n=\frac{\tilde{b}_n}{\tilde{a}_{nn}}.$$
当\(m\leq n\)时, 方程个数不超过变量个数, 这时方程可以化作如下的形式
\[
\left\{
\begin{split}
&\tilde{a}_{11}x_1+0+\cdots+0+\tilde{a}_{1,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{1n}x_n = \tilde{b}_1\\
&0+\tilde{a}_{22}x_2+\cdots+0+\tilde{a}_{2,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{2n}x_n = \tilde{b}_2\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots \\
&0+0+\cdots+\tilde{a}_{mm}x_m+\tilde{a}_{m,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{mn}x_n = \tilde{b}_m
\end{split}
\right..
\]
这时方程组的解可以表示为
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1=\frac{\tilde{b}_1-(\tilde{a}_{1,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{1n}x_n)}{\tilde{a}_{11}}\\
&x_2=\frac{\tilde{b}_2-(\tilde{a}_{2,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{2n}x_n)}{\tilde{a}_{22}}\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots \\
&x_m=\frac{\tilde{b}_m-(\tilde{a}_{m,m+1}x_{m+1}+\cdots +\tilde{a}_{mn}x_n)}{\tilde{a}_{mm}}
\end{split}
\right..
\]
其中\(x_{m+1},\cdots,x_n\)可以自由变动, 变动完了以后\(x_{1},\cdots,x_m\)由上式确定.
上述方法就是求解一般线性方程组的高斯消去法, 实际上这种方法我国古代数学家刘辉就有用过, 但是没有考虑很一般的情形.
在求解过程中, 我们可以发现\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)这些纯属符号, 并没有派上什么用场, 所以就有了后来的矩阵写法, 简化过程, 更体现本质. 另外在求解过程中, 可能会出现某一行系数都化成了\(0\), 这样就多出了一个冗余的方程, 如何来统一描述并处理这种情形就很自然地引出了线性相关、秩这些概念。我们以后再讲.
来源：https://blog.csdn.net/morrismodel/article/details/100528292