大家细细品味之前几回的内容就会发现, 其中的例子中真正起作用的是变量\(x_i\)前的系数, 而和符号\(x_i\)并没有太大的关系. 于是, 为了简(偷)化(懒), 矩阵应运而生.
对于线性方程组
\[
\left\{
\begin{split}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\
&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\
&\qquad\qquad\qquad\cdots \\
&a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m
\end{split}
\right..
\]
我们把它的系数按行列排成几排, 用花括号括起来, 记成
\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}.
\]
把\(A\)叫做矩阵. 对于\(A\)交换某两行(列)称为第一类初等变换, 在某一行(列)乘以一个非零数称为第二类初等变换, 将某一行(列)乘以一个数加到另外一行(列)称为第三类初等变换. 统称初等变换.
你可能要问我为什么要叫一类二类三类? 你管那么多干嘛, 只需牢牢记住就是了. 这个就叫术语(黑话), 记住它并运用它你的格调就高了.
你可能又要问我既然有初等变换, 是不是还有高等变换? 不存在的.
可以说, 线性代数正是有了初等变换以后才变得不那么初等. 嗯, 这句话很有哲理. 好了, 有了初等变换以后, 我们还要介绍一个高大上的名词叫做增广矩阵. 记
\[
\tilde{A}=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{pmatrix}.
\]
其实就是在\(A\)后面补了一列\(b\), 列数增加了, 维度拓广了, 所以叫增广矩阵.
这样, 一个线性方程组就对应一个增广矩阵\(\tilde{A}\). 容易知道, 对\(\tilde{A}\)任意交换两行或者在某一行乘以一个非零的数或者将某一行乘以一个数加到另外一行, 这些骚操作都不改变原来线性方程组的解, 所以说初等行变换不改变线性方程组的解. 另外对于\(\tilde{A}\)前\(n\)列任意交换两列也不改变方程组的解. 确切来说, 交换了第\(i\)列和第\(j\)列, 对应的变量\(x_i\)和\(x_j\)也要跟着改变顺序.
根据第三节的讨论可知, 对\(\tilde{A}\)做初等行变换以及对前\(n\)列做第一类初等列变换, 一定可以把\(\tilde{A}\)化成如下的标准形式:
\[
\tilde{A}=\begin{pmatrix}
I&c&s\\
0&0&d
\end{pmatrix}.
\]
\(I\)表示对角线全是\(1\), 其余元素全是\(0\)的方阵, \(c\)表示一个矩阵, \(s\)表示一个无关紧要的列向量, 第二行的\(0\)表示\(0\)矩阵, \(d\)是一个列向量. 注意, 第二行\(\begin{pmatrix}0&0&d\end{pmatrix}\)可以不出现, 第二列\(\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}\)也可以不出现.
所以原来线性方程组是否有解完全取决于\(d\), 如果\(d\neq0\)则无解, 如果\(d=0\)则有解. 而有解的时候解的个数取决于\(\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}\)的列数, 当列数为\(0\)时(即第二列不出现), 方程组有唯一解\(s\). 当列数大于\(0\)时就有无数个解.
以上的讨论就构成了线性方程组解的基本定理, 它是整个线性代数的核心之一. 以后还会用矩阵的秩,核,像等概念来描述这个定理, 这里先按下不表.
到这里, 线性方程组的内容就介绍得差不多了. 在结束之前我们来看两个例子. 第一个例子, 你可能好奇线性方程组什么时候会无解?
\[
\left\{
\begin{split}
&x_1+x_2=1\\
&x_1+x_2=2
\end{split}
\right..
\]
这个一眼就能看出来无解, 但是我们仍然用一下增广矩阵:
\[
\tilde{A}=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&1&2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&0&1
\end{pmatrix}
.
\]
可以知道右下角的\(1\)坏了事.
第二个例子是上回留的那道题
\[
\left\{
\begin{split}
&\qquad x_2+x_3+x_4 = 3\\
&x_1\qquad+x_3+x_4 = 3\\
&x_1+x_2\qquad+x_4 = 3\\
&x_1+x_2+x_3\qquad = 3
\end{split}
\right..
\]
下面对增广矩阵做初等变换来求解.
\begin{align*}
\tilde{A}&=\begin{pmatrix}
0&1&1&1&3\\
1&0&1&1&3\\
1&1&0&1&3\\
1&1&1&0&3
\end{pmatrix}(\text{交换第一行和第四行})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&1&1&0&3\\
1&0&1&1&3\\
1&1&0&1&3\\
0&1&1&1&3
\end{pmatrix}\\
&(\text{第二行减第一行})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&1&1&0&3\\
0&-1&0&1&0\\
1&1&0&1&3\\
0&1&1&1&3
\end{pmatrix}(\text{第三行减第一行})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&1&1&0&3\\
0&-1&0&1&0\\
0&0&-1&1&0\\
0&1&1&1&3
\end{pmatrix}\\
&(\text{第二行加到第一行,第二行加到第四行})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&1&1&3\\
0&-1&0&1&0\\
0&0&-1&1&0\\
0&0&1&2&3
\end{pmatrix}\\
&(\text{第三行加到第一行,第三行加到第四行})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&0&2&3\\
0&-1&0&1&0\\
0&0&-1&1&0\\
0&0&0&3&3
\end{pmatrix}\\
&(\text{第二行,第三行各乘\(-1\),第四行除以\(3\)})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&0&2&3\\
0&1&0&-1&0\\
0&0&1&-1&0\\
0&0&0&1&1
\end{pmatrix}\\
&(\text{第四行乘以\(-2\)加到第一行,第四行分别加到第二行和第三行)})\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&1\\
0&1&0&0&1\\
0&0&1&0&1\\
0&0&0&1&1
\end{pmatrix}\\
\end{align*}
所以最后的解唯一, 为
$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,1,1,1).$$
来源：https://blog.csdn.net/morrismodel/article/details/100528348