研究目的
- 为了研究高温服装的导热性，开展假人温度分布实验，将问题转化为一维复合介质传热问题，建立数学模型，模拟假人皮肤外侧温度变化情况
- 给定I层和IV层厚度及各层参数，求解问题
问题描述
- 在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤
- 服装有三层织物材料构成，记为\(I\) 层，\(II\)层，\(III\) 层。
- \(I\)层与外界环境接触，\(III\)层与皮肤之间存在间隙，记为\(IV\)层
- 开展假人温度分布实验
- \(II\)层厚度\(6mm\)，\(IV\)层厚度\(5mm\)，工作时间90分钟
- 环境温度\(75\)℃，假人体内温度控制在\(37\)℃
- 测量得到皮肤外层温度随时间的变化 (1s采样，0s-5400s)
- 建立数学模型，计算温度分布(温度在不同时空的分布)
- 已知条件
- 皮肤外层温度随时间的变化 (1s采样，0s-5400s)
背景知识
- 热传递包括热传导，热对流，热辐射
- 热传导：微观粒子热运动而产生的热能传递，固、液、气内部传热均存在热传导，主要基于傅里叶定律计算。
- 热对流：由流体宏观运动引起的热量传递过程，主要考虑流体与物体接触面的热交换，基于牛顿冷却公式计算。
- 热辐射：物体通过电磁波传递能量，可发生在任何物体中。
- 导热问题边界条件：
- 令\(T(x,y,z,t)\)为物体温度分布函数，\(Γ\)是物体边界曲面
- 因为第三类边界条件是已知边界面与周围空间的热量交换规律
- 物体和周围流体对流换热系数和周围流体温度
- 所以采用第三类边界条件：即\(q=-\lambda{\frac{dT}{dx}}=h\Delta{T}\)
- 非稳态传热：各点温度随时间变化，控制方程中有时间项，该问题属于非稳态传热
- 热流密度q：单位时间内，通过物体单位横截面积上的热量。
- 热传导基本定律(傅里叶传热定律)
- q为热流密度，λ表示传热系数，dt/dx表示空间节点上的温度差
\[ q=-\lambda{\frac{dT}{dx}} \]
- 热对流计算(牛顿冷却公式)
- 描述流体与物体表面的换热过程，h表示对流换热系数，对于对流传热问题，可通过牛顿冷却公式计算表面换热量
\[ q=h\Delta{T} \]
模型建立
- 各层和假人皮肤外层的初始温度均为37℃
- 热传递只在垂直假人皮肤的方向进行，不考虑其他方向上的热传递，所以简化为一维热传递方程
- 假设不考虑热辐射，仅考虑环境和I层表面之间的热对流，IV层和皮肤之间的热对流，各层之间的热传导
各层导热方式
- 第一层
- 对于第一层材料，材料内部主要为热传导方式，根据傅里叶定律建立模型；材料外边界与外部环境接触的边界条件为第三类边界条件，为对流传热过程
- 第二层
- 第二层材料仅需考虑热传导的传热方式。
- 第三层
- 第三层材料内部为热传导方式；由于第四层空气层较薄，故接触面不考虑对流传热，仅考虑热传导
- 第四层
- 第四层材料内部仅考虑热传导；材料右边界与人体接触，人体皮肤下存在大量毛细血管的血液流动，故右边界为第三类边界条件，考虑对流传热
热传导微分方程
对于非稳态传热问题，依据能量守恒定律建立非稳态偏微分控制方程，即：对任一微元体，其内能的变化等于流入流出微元体热流量的差值。控制方程为：
\[ \rho_{j} c_{j} \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda_{j} \frac{\partial T}{\partial x}\right)\quad t>0,x\in{(l_{j-1},l_j)}\quad (j=1,2,3,4) \]
即：
\[ \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda_{j}}{\rho_j c_j} \frac{\partial{^2} T}{\partial x^2}(j=1,2,3,4) \]
\(t\)为时间，\(x\)为距离，\(T\)为温度分布函数，\(\lambda\)表示为介质的热传导率；\(c\)表示为介质的比热，\(\rho\)表示为介质的密度
初始条件
\[ T(x,0)=T_{ren} \]
假设进入高温环境时人体与作业服已达到稳定状态，作业服温度分布的初始值为假人温度37°C
则初始条件为\(t=0\)时，各层温度为\(T_{ren}=37^\circ C\)
边界条件
- 应用牛顿冷却公式，描述的是两端的情况
- 两端均为第三类边界条件，\(T(0,t),T(L,t)\)为两端界面温度，\(h_1,h_2\)为两端的对流传热系数，\(T_{en}\)为环境温度，传出热量由对流换热带走。
\[ \begin{array}{l}{-\left.\lambda_{1} \frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=h_{1}\left(T_{e n}-T(0, t)\right)} \\ {-\left.\lambda_{4} \frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=h_{2}\left(T(L, t)-T_{r e n}\right)}\end{array} \]
交界面
- 对于不均匀材料导热问题，已假设材料间接触良好，忽略接触热阻，满足界面连续条件，即满足界面上温度与热流密度连续的条件
\[ \left\{\begin{array}{l}{T\left(x_{i}^{-}, t\right)=T\left(x_{i}^{+}, t\right)} \\ {\lambda_{i} \frac{\partial T}{\partial x}\left(x_{i}^{-}, t\right)=\lambda_{i+1} \frac{\partial T}{\partial x}\left(x_{i}^{+}, t\right)}\end{array}\right. \]
\(i\) 为各交界面，\(i=1,2,3\) ，当\(i=1\)时，指的是\(I\)层和\(II\)层的交界面，以此类推
对流换热系数
两端换热系数为未知量，通过最小二乘法建立参数估计模型
\[ \left(\hat{h}_{1}, \hat{h}_{2}\right)=\underset{h_{1}, h_{2}}{\arg \min } \sum_{i=1}^{N}\left[T\left(L, t_{i} ; h_{1}, h_{2}\right)-T^{*}\left(t_{i}\right)\right]^{2} \]
其中\(T(x,t)\)是温度随时间，空间的一维分布函数。
\(T(L,t_i;h_1,h_2)\) ：
- \(x=L\)，即皮肤外侧
- 未知参数为\(h_1,h_2\)
- \(t_i\) 是不同时刻的采样(采样了\(N\)个时刻)，比如2s，8s，10s
\(T^*(t_i)\) 是附件二中皮肤外侧温度在不同时刻的实测值。
- 为什么用最小二乘呢？因为实际做的是曲线拟合。附件二的数据可视化出来是一条曲线，我们要去模拟这个曲线，使模型的结果尽量拟合真实数据
模型综合
\[ 参数估计： \left(\hat{h}_{1}, \hat{h}_{2}\right)=\underset{h, h_{2}}{\arg \min } \sum_{i=1}^{N}\left[T\left(L, t_{i} ; h_{1}, h_{2}\right)-T^{*}\left(t_{i}\right)\right]^{2} \\ \left\{\begin{array}{l} 导热方程： \rho_{j} c_{j} \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda_{j} \frac{\partial T}{\partial x}\right)(j=1,2,3,4) \\ 边界条件： \left\{\begin{array}{l}{-\left.\lambda_{1} \frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}=h_{1}\left(T_{e n}-T(0, t)\right)} \\ {-\left.\lambda_{4} \frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=h_{2}\left(T(L, t)-T_{r e n}\right)}\end{array}\right.\\ 交界面： \left\{\begin{array}{l}{T\left(x_{i}^{-}, t\right)=T\left(x_{i}^{+}, t\right)} \\{\lambda_{i} \frac{\partial T}{\partial x}\left(x_{i}^{-}, t\right)=\lambda_{i+1} \frac{\partial T}{\partial x}\left(x_{i}^{+}, t\right)}\end{array}\right. \\ 初始条件： T(x, 0)=T_{ren} \\ \end{array}\right. \]
有限差分法求解
- 定解条件是初始条件和边界条件的统称
有限差分法：将连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把定解区域上的连续变量的函数用网格上定义的离散变量的函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似。最终，把原微分方程和定解条件用代数方程组来代替，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似值。
差分格式和稳定性
稳定性：方程的解析解有界，差分给出的界也有界，则稳定，否则不稳定。反映了差分格式在计算中控制误差传递的能力
常用的差分格式有：
- 显式前向差分格式：有条件稳定的，对时间空间步长有要求
- 由已知或已算出的值来计算出下一个时间步的值
- 隐式后向差分：无条件稳定，需要联立解方程组
- 要获得新时间步的值不仅要已知或已算出的值还要用到新时间步的值，因此需要联立方程
- 消耗比较大
我们这里采用显式前向差分。即求解第(n+1)时间层上温度时，依赖于前一时层温度信息。当然也需要求出限制性条件
差分法描述
- 为了将热传导偏微分方程差分化，必须对求解区域的时间和空间进行离散化处理
- 将物体沿x坐标方向以等间距𝛥 分割为N段，对于时间t，从t=0开始按间隔𝛥𝑡分割为M段。用𝑖表示节点的x坐标位置，𝑗表示时刻。各节点在x-t平面的位置用(𝑖,𝑗)表示。节点位于导热层内的称为内节点，边界上的称为边界节点
- 热传导方程：左边实际是温度对时间的一阶导数，右边是温度对坐标的二阶导数
- 温度对时间的一阶偏导数用一阶向前差分表达
\[ \frac{\partial \mathrm{T}}{\partial \mathrm{t}} \approx \frac{T_{i}^{j+1}-T_{i}^{j}}{\Delta t} \]
- 温度对空间坐标的二阶导数用二阶中心差分来表达
\[ \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} \approx \frac{T_{i+1}^{j}+T_{i-1}^{j}-2 T_{i}^{j}}{\Delta x^{2}} \]
从而实现了将微分方程差分化
具体求解及答案
对非稳态传热模型进行时间-空间离散化后，可根据边界条件和初值条件，在时间节点和空间节点上逐层进行求解。可建立未知参数复合传热系数与假人皮肤外侧温度测量值的数值关系，进而搜索未知系数h1与h2，求解对实测温度数据的最优拟合。
查询文献确定h1和h2的大致范围在[100,200]和[5,25]。采用网格搜索法来查找最优参数，步长为0.001
- 代入h1和h2初始值，通过非稳态传热模型离散方程逐层求解，得到假人皮肤外侧温度计算值
- 利用最小二乘的方法求解计算值与实测值的误差，并求出残差平方和；
- 更新h1与h2值，再次带入离散方程进行求解，得到新的温度计算值；
- 根据搜索得到的最佳拟合对流传热系数，求解出作业服温度分布，并保存在Excel表中。
其他问题
给定环境温度为65，IV层的厚度为5.5 mm，要求确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47，且超过44的时间不超过5分钟
- 确定II层最优厚度：为了节省成本，要求在满足约束条件下最小化II层厚度
- 单目标优化模型
- 因为只有II层厚度未知，可以直接先搜索II层厚度（题目给了取值范围）
- 步长2mm
- 60分钟内假人皮肤外侧最大温度与II层厚度的关系
- 假人皮肤外侧温度超过44C的时长与II层厚度的关系
- 从而进一步减小搜索步长与范围，最终在17.3~17.9mm范围内，以0.05mm步长搜
- 求得结果：II层最优厚度为17.6mm，超过44的时长为281s，短于5分钟，温度的最大值也小于47°C
给定环境温度为80,要求确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47C，且超过44不超过5分钟
- 定义优化目标比较开放！！关键如何定义这个最优
- 成本：II层当然是成本最小，IV层是空气层，与成本无关。
- 舒适性：II层介质与IV层介质总厚度越小，服装总体厚度越小，穿着越舒适，认为达到最优厚度
- 将多目标转为单目标：成本权重更大一些！！！
- 选取步长进行网格搜索，选取符合约束下的最优解
- 求得结果：19.3mm，6.4mm
总结
为了研究高温服装的导热性，开展假人温度分布实验，将问题转化为一维复合介质传热问题，建立数学模型，模拟假人皮肤外侧温度变化情况。仅考虑热传导和热对流形式，利用傅里叶传热定律和牛顿冷却公式，建立一维非稳态热传导微分方程。采用显式前向差分法将微分方程转化为线性方程，同时使用最小二乘法对边界上的对流换热系数进行参数估计，以拟合题目所给数据形成的温度曲线，从而求得温度在时空的分布函数并可视化。
给定II层厚度取值范围，针对II层的最优厚度设计问题，自主定义优化目标，在满足题目约束情况下，建立单目标优化模型，利用变步长搜索法（在大步长情况下观察目标和约束条件之间的变化关系，从而缩小搜索范围），找到最优厚度。
给定II层和IV层厚度取值范围，针对最优厚度设计问题，定义优化目标，在满足题目约束情况下，建立多目标优化模型，对优化目标赋权，从而将多目标转为单目标，利用网格搜索法，求解出最优厚度。