数论全集

欧几里得算法、拓展欧几里得算法

欧几里得算法：$gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$

int gcd(int a,int b) {
  if (b==0) return a;
  return gcd(b,a%b);
}

快速欧几里得算法（更相减损术）：$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)$

#define ctz __builtin_ctzll
LL gcd(LL a,LL b) {
  if(!a) return b;
  if(!b) return a;
  int t=ctz(a|b);
  a>>=ctz(a);
  do {
    b>>=ctz(b) ;
    if(a>b) swap(a,b);
    b-=a;
  } while(b);
  return a<<t;
}

拓展欧几里得算法：解不定方程$ax+by=gcd(a,b)$
算$gcd(a,b)$时，
有$ax+by=gcd(a,b)$ $(1)$
算$gcd(b,a\%b)$时，
有$bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)$ $(2)$
设$\lfloor \frac{a}{b} \rfloor=k$，有$a \% b = a-k\times b$
带入$(2)$，有$ay'+b(x'-ky')=gcd(a,b)$，
因为对于任意的$a,b$恒成立，所以有
$
\left\{\begin{matrix}
{y=x'-ky'}
\\ {x=y'}
\end{matrix}\right.
$
先求出$gcd$，每次求出当前的$x',y'$，然后更新上一步的。

int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
  int ans;
  if (b==0) {
    x=1; y=0;
    return a;
  }
  ans=exgcd(b,a%b,x,y);
  int tx=x;
  x=y; y=tx-a/b*y;
  return ans;
}

最小公倍数和最大公约数的性质

$gcd(Fib_a,Fib_b)=Fib_{gcd(a,b)}$

$gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1$

 

来源：https://www.cnblogs.com/shxnb666/p/11386131.html