数论分块 | 易学教程

前言

最近在学莫比乌斯反演，然而只看懂了莫比乌斯函数，然后反演看着一脸懵逼，最后只看懂了数论分块里面的一个分支内容（也是莫比乌斯反演的前置姿势），整除分块。于是写一篇博文记录一下整除分块也称数论分块数论分块是莫比乌斯反演一个很重要的的前置知识（基本都要用到这个玩意）已经看完莫反啦，打算写一篇博客来记录一下莫反。

整除分块

整除分块是用于快速处理形似 $$ \sum_{i=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} $$ 的式子的方法很显然，这个可以$O(n)$得到答案。但是，在某些题目中，毒瘤出题人将数据加强到了$10^{10}$以上，这个时候我们就无法通过$O(n)$的解法来得到答案了。我们需要一个$O(\sqrt{n})$的更为优秀的解法首先观察这个式子，找几个特殊值代入 n=5时，sum=5+2+1+1+1 可以发现的是：（这里给的例子并不明显，其实应该找一个大的n来代入才直观，读者可以自行尝试）对于单一的$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$，某些地方的值是相同的，并且呈块状分布 通过进一步的探求规律与推理以及打表与瞎猜，我们可以惊喜的发现一个规律，这些块状分布的值是有规律的 对于一个块，假设它的起始位置的下标为l，那么可以得到的是，它的结束位置的下标为$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor} \rfloor$ 如果实在看的有点懵逼，可以继续采用代入特殊值的方法，验证一下上方的规律，用程序表现出来即为

//l为块的左端点，r为块的右端点
r=n/(n/l)

在实际应用中，需要注意的就是除法除0的问题（一般都需要特判一下n/l）程序实现也十分简单

int ans = 0;
for(int l = 1, r = 0; l <= n; l++) {
    r = n / (n / l);
    // do something
}

实际应用

例题：BZOJ1257: [CQOI2007]余数之和

这题其实就是求 $$ \sum_{i=1}^{n}{k\space mod\space i} $$ 这题和整除分块又有什么关系呢？ mod没有什么特殊的性质，所以我们将它展开来，就变成了 $$ \sum_{i=1}^{n}{k\space-\lfloor \frac{k}{i} \rfloor*i} $$ 于是我们就看到了一个熟悉的形式，也就是整除分块的一般形式

再次改一下这个式子 $$ nk-\sum_{i=1}^{n}{\lfloor \frac{k}{i}\rfloori} $$ 那么$\sum_{i=1}^{n}{\lfloor \frac{k}{i}\rfloor*i}$和普通的整除分块有什么差别呢？

其实就是多了一个i

确实，就是多了一个i而已，只需要简单的化简一下，这个i就对我们的处理没有什么影响了

因为我们知道，对于一个整除分块$\sum_{i=l}^{r}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}$，其中的每个值都是相同的，于是我们可以设$T=\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

式子就化为了 $$ \sum_{i=l}^{r}Ti \ =\sum_{i=l}^{r}{T}\sum_{i=l}^{r}i $$ 也就是说，其实这个式子前半段是一个整除分块，后半段是一个首项为l，公差为1的等差数列

至此，我们就圆满的解决了这个问题，可以在$O(\sqrt{n})$的时间内解决本题

这是整除分块中最基础的应用，就是单纯的利用整除分块来加速递推的实现，而实际上，整除分块更多的与其他函数结合在一起来使用，优化问题的求解

整除分块与积性函数

说到积性函数，就不得不讲到两个广为人知的函数$\phi,\mu$，这是我们最熟悉的积性函数~~（其实我也只知道这两个）~~ 积性函数有一个很好用的性质（设$f(i)$为一个积性函数）： $$ f(ij)=f(i)f(j) $$ 这里的$f(i)$其实是一个完全积性函数。（$\phi$就不是一个完全积性函数：$\phi(ij)=\phi(i)\phi(j)$当且仅当i，j互质才成立）好了，讲完积性函数的这个性质后我们步入正题，整除分块与积性函数的联系很多时候，我们推出来整除分块的式子不是很裸的，常与其他函数结合（通常是积性函数，通常为$\mu$或$\phi$）这个时候如何统计答案呢？比如： $$ \sum_{i=1}^{n}{\mu(i)*\lfloor \frac{n}{i}\rfloor} $$ 积性函数的性质！因为积性函数这个很好用的性质，所以我们可以直接对前半段的莫比乌斯函数维护一个前缀和，再利用整除分块处理式子的后半段，处理答案的时候，把两段相乘即可

例题

BZOJ2956: 模积和

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4277138/blog/3296939

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