索引
前言
本篇内容为定理的证明
定理请参考：>传送门<
三个性质的证明
性质1证明: 这个式子是莫比乌斯函数真正的定义式
但是我们还是有证明
当$n=1$时，显然 $$\sum_{d|n}\mu(d)=\mu(1)=1$$ 根据定义直接得到的结论
当$n\neq1$时，
$$\sum_{d|n}=\mu(a_1)+\mu(a_2)+\dots+\mu(a_m)+\mu(a_1a_2)+\dots+\mu(a_1a_2 \dots a_m)$$ 这里的a指质因数，m是质因数的个数，这一步是直接展开。 $$=\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC^i_m$$ ·上式在下文中被称为第二个式子
如果选择i个质因子作为d的值，有$C_m^i$种选法 $$=0$$ 这里博主给一个杨辉三角的解释，我们假设m为奇数，那么显然因为$C_m^i=C_m^{m-i}$，又因为$(-1)^i=-(-1)^{m-i}$，所以第二个式子的值肯定为0，若m为偶数，我们设上一层的杨辉三角的 值为$1+a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+1$，且m为奇数，那么本层的杨辉三角值珂通过上一层推出，带入第二个式子得$1-1-a_1+a_1+a_2-a_2-a_3+\dots+a_{m-1}-a_{m-1}-1+1$
得到 $0$。
性质1证毕
性质2证明: 待更
性质3证明: 待更
反演推论的证明
对于所有的满足 $$\sum_{k,d\geq1}|f(n/kd)|<\infty$$ 的函数，莫比乌斯反演都成立
假设 $$g(n)=\sum_{d\geq1}f(n/d)$$ 那么
$$\sum_{d\geq1}\mu(d)g(n/d)=\sum_{d\geq1}\mu(d)\sum_{k\geq1}f(n/kd)$$ $$=\sum_{m\geq1}f(n/m)\sum_{d,k\geq1}\mu(d)[m=kd]$$ $$=\sum_{m\geq1}f(n/m)\sum_{d \backslash m}\mu(d)$$ $$=\sum_{m\geq1}f(n/m)[m=1]=f(n)$$ 证毕。 另一个方向上证明类似。
后记
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参考资料
《具体数学:计算机科学基础[第二版]》 作者：[美]**·**Ronald L.Graham **·**Donald E.Knuth **·**Oren Patashnik 参考内容:莫比乌斯反演的证明
来源：oschina
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