1. 前言
- 本课程由数学系开设，旨在讲述求解数学问题的各种最优化方法。
- 本博客仅对课程中的如下内容进行详细介绍：
- 凸集、凸函数、凸规划
- 线性规划
- 线性规划标准形式
- 单纯形法
- 无约束最优化方法
- 最优性条件
- 最速下降法
- 牛顿法
- 约束最优化方法
- Kuhn-Tucker 条件
- 罚函数法
- 闸函数法
2. 凸集、凸函数、凸规划
2.1 凸集
- 凸集的定义：
- 设$S \subseteq \mathbf { R } ^ { n }$，若$\forall x ^ { ( 1 ) } , x ^ { ( 2 ) } \in S , \lambda \in [ 0,1 ]$，必有$\lambda x ^ { ( 1 ) } + ( 1 - \lambda ) x ^ { ( 2 ) } \in S$，则称$S$为凸集。
- 形式化理解凸集的定义，即集合中任意两点连线上的点都在集合内。
- 对于凸集的证明，往往利用定义进行证明。
2.2 凸函数
- 凸函数的定义：
- 设集合$S \subseteq \mathbf { R } ^ { n }$为凸集，函数$f : S \rightarrow \mathbf { R }$。若$\forall x ^ { ( 1 ) } , x ^ { ( 2 ) } \in S , \lambda \in ( 0,1 )$，恒有$f \left( x ^ { ( 1 ) } + ( 1 - \lambda ) x ^ { ( 2 ) } \right) \leq \lambda f \left( x ^ { ( 1 ) } \right) + ( 1 - \lambda ) f \left( x ^ { ( 2 ) } \right)$，则称$f$为凸集$S$上的凸函数。
- 如果上面不等式以严格不等式成立，则称$f(x)$为凸集$S$上的严格凸函数。
- 凸函数的证明：
- 凸函数与一阶特征、二阶特征互为充要条件，往往利用二阶特征进行证明，
- 二阶特征：
- $f$在$S$上凸，等价于，$S$中任意一点，其对应的海塞矩阵半正定。
- $f$在$S$上严格凸，等价于，$S$中任意一点，其对应的海塞矩阵正定。
- 凸函数是定义在凸集上的函数，如果要证明凸函数，首先要说明定义域为凸集。
2.3 凸规划
- 凸规划的定义：
- 如果问题$(fS)$中，$S$为凸集，$f$为凸函数，则称这个问题是凸规划。
- 凸规划的定理：
- 在凸规划问题中，局部最优解也是全局最优解。
- 如果$f$为严格凸函数，则该局部最优解是唯一全局最优解。
- 依据凸规划的定理，证明一个局部最优点为唯一全局最优解，只需证明函数$f$为严格凸函数。
- 凸规划的性质十分利于我们寻找问题的最优解，因此我们经常需要证明一个问题是凸规划问题。
3. 线性规划
3.1 线性规划标准形式
- 首先介绍线性规划的标准形式，之后的单纯形法都是在标准形式上进行计算，对于不是标准形式的线性规划需要对其进行转换。
- 标准形式如下： $$( L P )\left{ \begin{array} { c } { \operatorname { max } z=c ^ { T } x } \ {s.t. \quad Ax = b } \ {\quad \quad x \geq 0 } \end{array} \right.$$
- 四个特点：
- 目标最大化
- 约束为等式
- 决策变量非负
- 右端项非负
- 采用如下方式，将一般形式转化为标准化形式：
- 极小化目标函数的问题：利用负号转化为目标最大化
- 约束不是等式的问题：引入松弛变量
- 变量无符号限制的问题：用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量
- 右端项有负值的问题：乘以$-1$
3.2 单纯形法
- 单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
- 单纯形法要求系数矩阵中存在单位阵，将其作为初始的基本可行解，之后一步步迭代。对于某些标准形式中不含有单位阵的线性规划问题，可以采用大M法和两阶段法。
- 单纯形法的计算比较简单，这里只给出例子进行说明。 $$( L P ) \quad \left{ \begin{array} { c } { \operatorname { max } z=1500x_1+2500x_2} \ { 3x_1+2x_2+x_3 = 65 } \ { 2x_1+x_2+x_4 = 40 }\ { 3x_2+x_5 = 75 }\ { x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0 } \end{array} \right.$$
- 单纯形表如下所示：
- 最优解为$x _ { 1 } = 5, x _ { 2 } = 25 , x _ { 4 } = 5$。
- 与单纯形法相对应的还有对偶单纯形法，二者的算法流程图对比如下所示：
4. 无约束最优化方法
4.1 最优性条件
- 一阶必要条件：如果$x^$为局部最小点， 则$x^$为驻点，即该点梯度为$0$。
- 二阶必要条件：如果$x^*$为局部最小点， 则该点梯度为$0$，且海塞矩阵半正定。
4.2 最速下降法
- 该方法就是就是梯度下降法的雏形，是求解无约束问题$minf(x)$的古老而基本的方法。
- 在迭代收敛的过程中，每一步令该点的负梯度方向为下降方向。
- 在下降方向确定后，需要找到步长$\lambda$，由于是单变量求最优的问题，采用一维搜索的方式即可。
- 最速下降法的“最速”是局部性质，在举例最优点较远处下降的比较快，而距离较近的时候会发生扭摆现象。
- 最速下降法是一种线性收敛的算法，在特定条件下具有全局收敛性。
- 该算法的流程图如下所示：
4.3 牛顿法
- 牛顿法的思想是利用二次函数近似目标函数，把这个二次函数的极小点作为新的迭代点。该方法应用的前提是函数$f(x)$二次连续可微，并且求解的问题是无约束问题$minf(x)$。
- 其数学公式由泰勒展开式取前三项得到，即二阶Taylor近似函数： $$q_k( x ) = f \left( x ^ { ( k ) } \right) + \nabla f ^ { \mathrm { T } } \left( x ^ { ( k ) } \right) \left( x - x ^ { ( k ) } \right) + ( 1 / 2 ) \left( x - x ^ { ( k ) } \right) ^ { \mathrm { T } } \nabla ^ { 2 } f \left( x ^ { ( k ) } \right) \left( x - x ^ { ( k ) } \right)$$
- $x^{(k)}$是第$k$次的迭代点。
- 对该函数求驻点得到： $$\nabla q_k( x )= \nabla f \left( x ^ { ( k ) } \right) + \nabla ^ { 2 } f \left( x ^ { ( k ) } \right) \left( x - x ^ { ( k ) } \right) = 0$$
- 显然只要计算$x^{(k)}$点的梯度值，以及海塞矩阵，即可找到下一步的迭代点，相当于最速下降法中的步长为1。将上述公式转换为： $$\boldsymbol { x } ^ { ( k + 1 ) } = \boldsymbol { x } ^ { ( k ) } - \left[ \nabla ^ { 2 } f \left( \boldsymbol { x } ^ { ( k ) } \right) \right] ^ { - 1 } \nabla f \left( \boldsymbol { x } ^ { ( k ) } \right)$$
- 该公式可以进行计算的前提是海塞矩阵是正定。
- 牛顿法的算法流程图如下所示：
- 牛顿法的优点
- 牛顿法的收敛速度为二阶，属于平方收敛。牛顿法对正定二次函数一步迭代即可达到最优解，因此具有二次终结性。
- 牛顿法的缺点
- 牛顿法是局部收敛的，在初始点选择不当时，往往导致不收敛。
- 牛顿法不是下降算法，当二阶海塞矩阵非正定时，不能保证产生的方向是下降方向。
- 二阶海塞矩阵必须可逆。
- 要求函数二阶连续可微，计算量大。
5. 约束最优化方法
- 约束最优化问题是实践中常见的问题，难度大于无约束最优化问题。约束最优化问题的形式一般是$(fgh)$问题，即： $$( fgh ) \left{ \begin{array} { c } { \operatorname { min } f(x)} \ { s.t. \quad g ( x ) \leq 0 } \ {\quad \quad h ( x ) = 0 } \end{array} \right.$$
5.1 Kuhn-Tucker条件
- 对于$(fgh)$问题，K-T条件的公式如下：
$$\nabla f \left( x ^ { * } \right) + \sum _ { i \in I } u _ { i } ^ { * } \nabla g _ { i } \left( x ^ { * } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { l } v _ { j } ^ { * } \nabla h _ { j } \left( x ^ { * } \right) = 0$$
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要求所有的$u$值非负。
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通过对上述公式求解，便找到了满足K-T条件的K-T点。
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在约束最优化问题中，K-T条件相当于无约束最优化问题中的驻点条件，即寻找到K-T点便找到了问题的局部最优解。
- 有些问题需要说明K-T点是全局最优解，只需要证明问题是凸规划即可，详见2.3章节的介绍。
5.2 罚函数法（外点法）
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解决玉树问题的一个直接想法是，把违背约束作为对求最小值的一种惩罚，把约束加入到目标函数，从而得到了一个辅助的无约束最优化问题，之后采用无约束最优化方法进行求解，这就是罚函数的基本思想。
- 在实际求解无约束最优化问题时，求驻点便可以解决大多数问题。
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构造的辅助函数形式如下： $$minf(x)+\mu \alpha (x)$$
- $\mu$为罚因子，大于0。
- 其中$\alpha ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \phi \left( g _ { i } ( x ) \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { 1 } \varphi \left( h _ { j } ( x ) \right)$
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通常令$\phi(x)=[max{0,x}]^p$, $\varphi (x)=|x|^p$, $p$值通常为$2$。
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求解过程就是对辅助函数求驻点，并计算$\mu$趋近无穷大时，最优解的值。
5.3 闸函数法（内点法）
- 闸函数适用于不等式约束问题，即$(fg)$问题。思想与罚函数基本相同。不同点在于该方法将惩罚家在约束集的边界，当靠近边界时，惩罚项无穷大。
- 构造的辅助函数形式如下： $$minf(x)+\mu B(x)$$
- $\mu$为罚因子，大于0。
- 其中$B ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \phi \left( g _ { i } ( x ) \right)$
- 通常令$\phi(x)= - \frac { 1 } { x }$。
- 求解过程就是对辅助函数求驻点，并计算$\mu$趋近$0^+$时，最优解的值。
来源：oschina
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