莫比乌斯反演 | 易学教程

下文中涉及$F(x)$与$f(x)$关系的含$\sum$的式子中，默认使用的自变量为$d$ 下文中一律默认$n\leq m$，即$\min(n,m)=n$ ##正文我们假设现在手上有两个函数$f(x)$和$F(x)$，其中$F(x)$很好求，$f(x)$很难求。已知$F(x)$可以表示成$f(x)$的和的形式，那么我们用$F(x)$反过来去求$f(x)$的过程就叫做莫比乌斯反演。莫比乌斯反演主要有以下两种形式。 ###第一种已知 $$F(x)=\sum_{d|x}f(d)$$ 则 $$f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})F(d)$$ ###第二种已知 $$F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)$$ 则 $$f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})F(d)$$ 其中$\mu(x)$为莫比乌斯函数，可表示为 1、若$x=1$，则$\mu(x)=1$ 2、若$x=p_1p_2p_3...p_k$，则$\mu(x)=(-1)^k$ 3、若$x=p^2*d\quad(d\in N^{+})$，则$\mu(x)=0$ 莫比乌斯函数可以通过线性筛在$O(n)$时间复杂度内得到。

int mu[N],pri[N],tot;
bool zhi[N];//zhi[i]为true的表示不是质数
void Mobius()
{
	zhi[1]=true;mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!zhi[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=true;
			if (i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
}

##举个栗子我们现在需要求 $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]$$ 或者是 $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$$ 那么我们构造两个函数$f(x)$，$F(x)$，令 $$f(x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==x]$$ 又令$$F(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d)$$ 观察式子，发现$F(x)$就是指在1到n和1到m中各选1个数它们的gcd是的x的倍数的方案数，那么显然有一个这样子的式子： $$F(x)=\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor$$ 这就对应了“$F(x)$很好求而$f(x)$很难求”的要求，所以就可以用莫比乌斯反演做了。如果求的是第一问那么答案就是$f(1)$，如果求的是第二问那么答案就应该是$$\sum_{i=1}^{n}f(i)*i$$而如果要把所有$f(i)$求出来的话复杂度是 $$O(\sum_{i=1}^{n}\frac ni)$$ 哎呀我数学太差了这个等于多少来着，反正$n\le 10w$的数据肯定是跑得过的。 2018-10-31upt：$O(n\ln n)$ ###骚操作 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)==1]$$ 就是把k的因子提出来了而已辣。 ###奇技淫巧我们现在只考虑上方的第一问，即求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]$$ 易知每次计算$F(x)$的复杂度是$O(n)$，然后要算出$f(1)$的复杂度也是$O(n)$，也就是说一组数据的时间复杂度是$O(n)$。那我有$10^5$组数据不就$GG$了？这里用到高神讲到的数论分块。我们看$F(x)$，它等于$\lfloor\frac nx\rfloor\lfloor\frac mx\rfloor$，我们可以证明，它在$[1,n]$上仅有至多$O(\sqrt n)$种取值。我们维护一个$\mu(x)$的前缀和，然后把$F(x)$值相同的放在一起算贡献。总复杂度变为$O(T\sqrt n)$ ###题目到了这一步了。如果你想要继续，请先完成如下例题： [POI2007]ZAP-Queries [BZOJ2301][HAOI2011]Problem B [BZOJ2818]Gcd （我就直接放我博客的链接了啊，原题链接都有，一定要自己去推一推式子，不要直接看题解） ##进阶如果你还记得我在前文中提到的求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)$的复杂度是$O(\sum_{i=1}^{n}\frac ni)$的话，请你千万要忘了它。常规复杂度应该是$O(n)$，可以跑$n<=10^7$的数据。如果你应是要跑多组数据也不是没问题。经过$O(n)$的预处理后，单组数据的复杂度可以做到$O(\sqrt n)$ 具体实现就请在做题中领悟吧。真的不是我懒得写

来源：oschina

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