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二.数列极限
数列定义：定义在正整数集上的函数，记为{aₙ}
特殊数列：常数列{aₙ} aₙ=c,n ∈ N*
有界数列：{aₙ} ∃M>0,∀n ∈ N*
单调数列：
{aₙ} aₙ<=aₙ₊₁,n ∈ N*(单增）
{aₙ} aₙ>=aₙ₊₁,n ∈ N*(单减）
1/n 当n无限增大，1/n无限接近于0
∀ε>0 , |1/n|<ε , 则n>1/ε+1>1/ε
也就是 ∀ε>0 ，∃N ∈ N*,∀n>N,有|1/n-1|<ε
3.数列极限定义：
设{aₙ} 是一个数列，a为一个常数
若∀ε>0 ，∃N ∈ N*,∀n>N,有|aₙ-a|<ε
称数列{aₙ}收敛于a或a是数列{aₙ}的极限
lim（n→∞)aₙ=a或aₙ=a（n→∞）
lim（n→∞)aₙ=a充要条件 ∀ε>0 ，∃N ∈ N*,∀n<N, 都有|aₙ-a|<ε
4.若{aₙ}不存在极限，称{aₙ}是发散的
{aₙ}收敛充要条件∃a∈R,使lim(n→∞)aₙ=a
{aₙ}发散充要条件∀a∈R,lim(n→∞)aₙ≠a
注意
1.关于ε，由定性的描述转化为定量地描述
2.二重性
(1)绝对任意性：这样才能保证aₙ无限趋于a
(2)相对固定性：表示aₙ趋于a的渐进过程的不同阶段
3.ε>0为ε任意小，可限定ε小于任何一个正常数
cε（c>0,c为常数）任意小
ε²任意小
|aₙ-a|<ε可用cε，ε²等代替
4.关于N对ε的依赖性：强调存在性和不唯一性
意
(1).关于ε，由定性的描述转化为定量地描述
例题 证明lim(n→∞)(n-1)/n=1
∀ε>0,要使|(n-1)/n-1|=1/n<ε
n>1/ε
取N=1/ε+1∈ N*
∀n>N>1/ε
有|/n-1|=1/n<ε
lim(n→∞)(n-1)/n=1
例题 证明lim(n→∞)(cosn)/n=0
∀ε>0,|(cosn)/n|<ε
|(cosn)/n|<=1/n<ε n>1/ε
取N=1/ε>0
∀n>N 有|(cosn)/n-0|<ε
即lim(n→∞)(cosn)/n=0
lim(n→∞)aₙ=a充要条件∀ε>0，∪(a;ε)外至多有{aₙ}的有限项
例1 证明{n²}与{(-1)ⁿ}都是发散数列
(1)∀a∈R ∃ε₀=1
{n²}满足n>a+1的项都在∪(a;ε₀)外，则{n²}发散
(2)∀a∈R ∃ε₀=1>0
∪(a;ε₀)外有{(-1)ⁿ}所有奇数项
若a≠1 ∃ε₀=|1-a|/2>0
∪(a;ε₀)外有{(-1)ⁿ}所有偶数项
例：设{aₙ}为给定的数列，{bₙ}是对{aₙ}增加，减少或改变有限项之后得到的数列，证明{bₙ}和{aₙ}具有相同的敛散性，并且在收敛时极限相等
证明： 当{aₙ}收敛时，lim(n→∞)aₙ=a
∀ε>0 ∪(a;ε)外至多有{aₙ}的有限项
∪(a;ε)外至多有{bₙ}的有限项
lim(n→∞)bₙ=a
{aₙ}发散证{bₙ}也发散
反证假设{bₙ}收敛
{aₙ}是对{bₙ}增加，减少或改变有限项之后得到的数列
{aₙ}收敛与{aₙ}发散矛盾
所以{bₙ}发散
lim(n→∞)aₙ≠a充要条件
∃ε₀>0,∀N>0,∃n>N,使|aₙ-a|>=ε₀
若lim(n→∞)aₙ=0 ,称{aₙ}是无穷小数列
如qⁿ(|q|<1)
定理 数列{aₙ}收敛于a充要条件{aₙ-a}是无穷小数列
定义 若{aₙ}满足：
∀M>0, ∃N ，∀ n>N,有|aₙ|>M
称{aₙ}发散于无穷大，记为
lim（n→∞)aₙ=∞或aₙ→∞
称{aₙ}是无穷大数列或者无穷大量
定义 {aₙ}满足
∀M>0, ∃N ，∀ n>N,有aₙ>M
称{aₙ}发散于正无穷
记为 lim（n→∞)aₙ=+∞或aₙ→+∞
∀M>0, ∃N ，∀ n>N,有aₙ<-M
称{aₙ}发散于负无穷
记为 lim（n→∞)aₙ=-∞或aₙ→-∞
{aₙ}是无穷大数列充要条件
∀M>0, ∃N ，∀ n>N,有|aₙ|>=M
{aₙ}无界充要条件∀ε>0 ，∃N ∈ N*，使|aₙ|>=ε
无穷大数列一定是无界数列
无界数列不一定是无穷大数列
让我们来做个课后题吧
上节课后题答案
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编辑人：李纪玲
审核人：水亦心
本文分享自微信公众号 - AI与区块链技术（Math_AI_Blockchain）。
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来源：oschina
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