映射

文章目录

• 定义1：映射
• 满射，单射和双射
• 变换
• 原象集
• 恒等映射
• 乘积/合成
• 结合律
• 逆映射
• 定理2
• 证明

定义1：映射

对于集合$S$的每一个元素$a$,在$S'$中都能找到唯一确定的元素$b$与之对应，则称$f$是$S\rightarrow S'$的一个映射

• b称为a在$f$下的一个象
• a称为b在$f$下的一个原象
• $S$称为$f$的定义域
• $S'$称为陪域
• $S$的所有元素在$f$下的象对应的集合称为$f$的值域或$f$的象,$f(S)或Imf$

满射，单射和双射

满射:

• $f(S)=S'$
• 当且仅当：$f$的陪域$S'$中每一个元素都有一个原象

单射:

• 当且仅当：$a_1,a_2\in S,且f(a_1)=f(a_2)$ $则\Rightarrow a_1=a_2$
• 即，定义域$S$中不同元素在$S'$中对应的元素不同

双射:

• 当且仅当：陪域中每一个元素都有唯一的原象（也就是说，对于S’中的任意一元素，都能在S中只能找到一个对应的元素）
• $\Leftrightarrow f$是满射+单射

变换

$S$到自身的一个映射，称为$S$上的一个变换

原象集

$S'$中的元素$b$在映射$f$下的所有原象组成的集合
称为
$b在f下的原象集，记作f^{-1}(b)$

恒等映射

$\forall x\in S,f(x)=x$ $f:S\to S$则称$f$是恒等映射，或$S$上的恒等变换，记作$1_S$

乘积/合成

• $g:S\to S'$ $f:S'\to S$
• $\Rightarrow$ $(fg)(a)=f(g(a))$ $\forall a\in S$

结合律

• $h:S\to S',g:S'\to S'',f:S''\to S'''$
• $\Rightarrow$ $f(gh)=(fg)h$

逆映射

• $f:S\to S'$
• 若$\exist g:S'\to S$使得$fg=1_{S'},gf=1_S$

则称$f$可逆，$g$是$f$的一个逆映射（唯一）

定理2

映射$f:S\to S'可逆\Leftrightarrow$ $f是双射$

证明

①可逆推双射

• $f$可逆，故有逆映射$f^{-1}:S'\to S$
• $\forall a'\in S',有f^{-1}(a')\in S$，且$f(f^{-1}(a'))=(ff^{-1})(a')=1_{S'}(a')=a'$
• ∴$a'$在$f$下至少存在一个原象$f^{-1}(a')\Rightarrow f是满射$
• $\forall a_1,a_2\in S,若f(a_1)=f(a_2)$，证明$a_1=a_2$
  • $f^{-1}(f(a_1))=f^{-1}(f(a_2))$ $\Rightarrow a_1=a_2$

②双射推可逆

• 双射$\Rightarrow$ $\forall a'\in S',a'在f下都有唯一原象a,即$ $f(a)=a'$
• 令$g:S'\longrightarrow S$ $a' \longrightarrow a$
• $(fg)(a')=f(g(a'))=f(a)=a'$ $\Rightarrow fg=1_{S'}$
• $\forall x\in S$,由g映射的定义知$g(f(x))=x$So$(gf)(x)=g(f(x))=x$ $\Rightarrow gf=1_s$ $\Rightarrow f可逆$

来源：https://blog.csdn.net/universe_1207/article/details/99745337