乘法逆元

允我心安 提交于 2020-09-24 13:30:25

乘法逆元1

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这里有两种方法求逆元其实我只会两种qwq

在这里放一个线性的式子:

\[inv_i = p-(p\div i)\times inv_{p\%i}\%p \]

原理我也不懂orz。

啊是的这是第一种方法。

另一种方法用到了费马小定理,结论是:

在模数\(p\)为质数的情况下:

\[a^{-1}\equiv a^{p-2} (mod~~p) \]

不会证。

然后我们用快速幂求一下即可。

不过在这道题里用第二种方法会T,必须用线性的求法。

乘法逆元2

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我们Tethys真的是太厉害啦!!!!

如果用线性求逆元的方法,我们需要求出从\(1\)\(a_{max}\)的所有逆元。

然而\(a_{max}\)上限为\(10^{9}\),这种做法显然是不可行的。

有另一种求逆元的方法好像叫离线求逆元??

首先逆元是完全积性的,我们要知道\(a_i\)的前缀积的逆元就是逆元的前缀积。

所以我们在输入的时候顺便求一下前缀积,然后有这么两个式子:

\[式子1:a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1}(1\leq i\leq n) \]

\[式子2:pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i (1\leq i< n) \]

推式子:

式子是怎么推的,这一步可以跳过,因为太简单qwq

式子2:

第二个好推所以我们先推第二个 \(pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i\)

首先逆元的前缀积是这样的:

\[pre_i^{-1} = a_{1}^{-1} \times a_{2}^{-1} \times ... \times a_{i}^{-1} \]

因为\(a^{-1} = \frac{1}{a}\)

所以可以变成这样的形式:

\[pre_i^{-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \]

显然:

\[pre_{i-1}^{-1} = pre_i^{-1} \times a_i = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \times a_i = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i-1}} \]

所以:

\[pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i \]

式子1:

接下来推第一个式子\(a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1}\)

因为:

\[a_{i}^{-1} = \frac{1}{a_i} \]

因为前缀积的逆元可以变成这样:

\[pre_i^{-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \]

把式子1展开相乘一下:

\[pre_i^{-1} \times pre_{i-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \times a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i-1} = \frac{1}{a_i} \]

所以:

\[a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1} \]

然后我们就推完了orz。

我们就可以根据这个两个式子线性求出逆元的前缀积,但是首先要\(log\)的求一下\(pre_n\)的逆元。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<typename temp>temp read(temp &x){
	x = 0;temp f = 1;char ch;
	while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') and (f = -1);
	for(x = ch^48; isdigit(ch = getchar()); x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
	return (x *= f);
}
template <typename temp, typename ...Args>void read(temp& a, Args& ...args){read(a), read(args...);}

const int maxn = 5e6+10;

long long n, p, k, ans, pre[maxn], inv_pre[maxn], a[maxn];

long long fast(long long x, long long y, long long p){
	long long ans = 1;
	while(y){
		if(y&1) ans = ans*x%p;
		x = x*x%p;
		y >>= 1;
	}
	return ans%p;
}

signed main(){
	read(n, p, k);pre[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) pre[i] = pre[i-1]*read(a[i])%p;//求前缀积
	inv_pre[n] = (fast(pre[n], p-2, p));//求出pre[n]的逆元
	for(int i = n; i >= 1; i --) inv_pre[i-1] = inv_pre[i]*a[i]%p;//求出逆元的前缀积
	for(int i = n; i >= 1; i --) ans = (ans + inv_pre[i]*pre[i-1]%p)*k%p;//式子一求出a[i]的逆元
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}
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