1025.除数博弈 -----力扣每日打卡Day5

1.题目

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。
最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。
只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。
示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示： 1 <= N <= 1000
C语言函数头：

bool divisorGame(int N){}

来源：力扣（LeetCode）戳我前往题目

2.题目分析

老实说，这题第一眼看到我是没办法做的。这种博弈题，如果正向观察，因为是选择任一的X，无法确定的，如果按照正向思维来做是很难考虑的。所以，我们可以反向思维，从最小的开始看。
这种一个个从小倒推回去，表示的一种状态，我们可以用动态规划的方法。首先确定初始条件：

dp[1] = flase，dp[2] = ture .通过示例可以得出。当N等于1的时候，爱丽丝会输；当N 等于2的时候，爱丽丝能赢。

然后就是迭代规律：

如果下一个数中的约数中，存在 dp[i-j] = false，也就是下一个走得人，会输那么这个数也必然 true。

3.动态规划代码实现

bool divisorGame(int N){
    int dp[1100];
    dp[1] = 0;
    dp[2] = 1;
    //从小到大一步步进行判断
    for(int i = 3; i <= N; i++)
    {
        int flag = 0;
        //约数中如果有dp[i-j] = false 的，那爱丽丝就能赢，动态规划
        for(int j = i-1; j > 0; j--){
            if(i % j == 0 && dp[i-j] == 0){
                dp[i] = 1;
                flag = 1;
            }
        }
        if(flag == 0)
        dp[i] = 0;
    }
    return dp[N] == 1;
}

在这里插入图片描述

你以为这就完了，NO！

4.究极解答 —— 找规律

这道题还有一种找规律！如果我们看到这种题实在是没有头绪，可以找找规律，从小开始找。

当 N = 1.爱丽丝输了。
当 N = 2.爱丽丝赢了。
当 N = 3.爱丽丝输了。
当 N = 4.爱丽丝赢了。爱丽丝选择1，余3，鲍勃选择1，余2，爱丽丝选1，赢了。
……
可以发现一波，如果N是偶数，爱丽丝就赢，如果N是奇数爱丽丝就输。

证明：

N=1 和 N = 2 时结论成立。
N >2 时，假设 N ≤ k 时该结论成立，则 N = k + 1 时：

如果 k 为偶数，则 k + 1为奇数，x 是 k + 1的因数，只可能是奇数，而奇数减去奇数等于偶数，且 k + 1 - x ≤ k，故轮到 Bob 的时候都是偶数。而根据我们的猜想假设 N ≤ k 的时候偶数的时候先手必胜，故此时无论 Alice 拿走什么，Bob都会处于必胜态，所以 Alice 处于必败态。
如果 k 为奇数，则 k+1 为偶数，x 可以是奇数也可以是偶数，若 Alice 减去一个奇数，那么 k + 1 − x 是一个小于等于 k的奇数，此时 Bob 占有它，处于必败态，则 Alice 处于必胜态。

综上所述，这个猜想是正确的。

代码：

bool divisorGame(int N) {
    return N % 2 == 0;
}

第二种解答来源：力扣（LeetCode）戳我前往官方解答

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4398470/blog/4437193

标签

Alice

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2.题目分析

3.动态规划代码实现

4.究极解答 —— 找规律

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