天梯---至多删三个字符（DP）

给定一个全部由小写英文字母组成的字符串，允许你至多删掉其中 3 个字符，结果可能有多少种不同的字符串？

输入格式：

输入在一行中给出全部由小写英文字母组成的、长度在区间 [4, $1] 内的字符串。$

输出格式：

在一行中输出至多删掉其中 3 个字符后不同字符串的个数。

输入样例：

ababcc

输出样例：

提示：

删掉 0 个字符得到 "ababcc"。

删掉 1 个字符得到 "babcc", "aabcc", "abbcc", "abacc" 和 "ababc"。

删掉 2 个字符得到 "abcc", "bbcc", "bacc", "babc", "aacc", "aabc", "abbc", "abac" 和 "abab"。

删掉 3 个字符得到 "abc", "bcc", "acc", "bbc", "bac", "bab", "aac", "aab", "abb" 和 "aba"。

参考于：https://msd.misuland.com/pd/2884250171976189282

dp[i][j]表示的从前i个字符中删除恰好j个，剩下字符构成的字符串有多少种不同的，在上面样例中就是:

dp[6][0]=1;

dp[6][1]=5;

dp[6][2]=9;

dp[6][3]=10;

答案就是这些值累加。

如何递推dp[i][j],下面这个不完全对的式子还是容易想到的:

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]

dp[i-1][j]存储的是前i-1个字符里删除了j个之后能形成的字串个数，那如果我不删除第i个字符,前i个字符就还是只删除了j个字符,dp[i-1][j]的值就可以累加到dp[i][j]上；

dp[i-1][j-1]存储的时前i-1个字符删除了j-1个后能形成的字串个数，如果我接着把第i个字符删除,就相当于前i个字符删除了j个,那

dp[i-1][j-1]的值就可以累加到dp[i][j]上;

可是看似正确，会有重复计算

比如qwabda 一共6个字符长,这里假设递推式下标从1开始，dp[6][3]=dp[5][2]+dp[5][3];

而dp[5][2]是前5个里删2个，这肯定包括了删除第4第五个字符bd这种情况,然后再把第6个删除形成dp[6][3]的一员;

这相当于删除了bda 如右所示 qwa~~bda~~

dp[5][3]里肯定包括了删除第3,4,5个字符的情况,如右所示 qw~~abd~~a;

而这两种删除方式都会留下 qwa这个字串，说明有重复情况被累加了;

如何减去重复的次数,每当递推到一个dp[i][j]时,就从第i-1到第1个字符里倒着找有没有等于第i个字符的，找到第一个后停下，假设这个位置是k,那么[k,i-1]和[k+1,i]这两种删除方式得到的剩下的串就是相同的，参考上面红色的部分，而且从[k+1,i-1]这段是两种删除方式中都会删掉的,所以[k,i]这段里有i-k个字符被删掉了，要满足dp[i][j],就还需要从[1,k-1]这段里面删掉(j-(i-k))个字符，而

dp[k-1][j-(i-k))]就是从前k-1个字符中删除(j-(i-k))个字符能形成多少不同字串，这个值贡献到了dp[i][j]的计算中，而且这个值在计算dp[i][j]累加时被加了两次，现在减掉一倍的它就可以了,然后就break;去递推下一个dp[i][j+1]或者是该dp[i+1][j]；

为什么找到一个相同的后就break呢，比如qwwqabdaga这种,abda这里会需要去重，aga这里也会去重，代码里的循环是从左向右递推的,比dp[i][j]小的任意dp[i-k1][j-k2]都肯定是去过重了，在aga这部分去重时用到的前面的dp[i][j]一定是正确的，不会影响到后面。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 const int INF=0x3f3f3f3f;
 3 typedef long long LL;
 4 const double eps =1e-8;
 5 const int mod=1e9+7;
 6 const int maxn=1e6+10;
 7 using namespace std;
 8 
 9 LL dp[maxn][5];
10 string str;
11 
12 int main()
13 {
14     #ifdef DEBUG
15     freopen("sample.txt","r",stdin);
16     #endif
17     
18     cin>>str;
19     int len=str.size();
20     str=' '+str;
21     dp[0][0]=1;
22     for(int i=1;i<len+1;i++)
23     {
24         dp[i][0]=1;
25         for(int j=1;j<=3;j++)
26         {
27             dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
28             for(int k=i-1;k>0&&j>=i-k;k--)
29             {
30                 if(str[k]==str[i])
31                 {
32                     dp[i][j]-=dp[k-1][j-(i-k)];//减去重复的
33                     break;
34                 }
35             }
36         }
37     }
38     LL ans=dp[len][0]+dp[len][1]+dp[len][2]+dp[len][3];
39     printf("%lld\n",ans);
40     
41     return 0;
42 }

来源：https://www.cnblogs.com/jiamian/p/12529224.html

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