一、前言
最近又做了一些比较基础的DP，感觉自己无敌了，应该有资格写篇文章来介绍了！
本文主要介绍动态规划的概念，记忆化搜索以及动态规划的核心。
二、介绍
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。其本质是将一个复杂的问题拆分成若干个相对简单的子问题，所以常适用于有重叠子问题和最优子结构问题。
这样介绍动态规划是很空洞而抽象的，我们从更简单的方式切入。
三、记忆化搜索？动规？
山洞里有 m 株不同的草药，第 i 株草药的价值为v[i]，采第 i 株草药需要时间 t[i]。在时间 T 内，要求采集一些草药，使总价值最高。
不知道动规碰到这道题的唯一方法为暴力搜索——进行DFS，对于每一株有选与不选两个选项，从第 1 株开始逐一进行二选一，如果出现时间超过限定则回溯；直到对 m 株都进行了选择，记录当前的价值并和最大价值比较，选择较大值，以此反复，可得最优解。核心代码如下：
1 void dfs(int o, int ot, int ov) {
2 if (ot > T) return;
3 if (o == m + 1) {
4 ans = max(ans, ov);
5 return;
6 }
7 dfs(o + 1, ot, ov);
8 dfs(o + 1, ot + t[o], ov + v[o]);
9 }
复杂度为O(2 ^ n)，太美。
我们来分析下这个搜索的过程：搜索顺序是单调的，从第一株草药开始直到最后一株，也就是说当前如果搜索到第 i 株，那么这个状态与后面的 i + 1, i + 2, ..., m 株都是没有关系的。
我们再注意到，对于每一层dfs，它的三个参数o, ot, ov可以看作这层dfs的一个数据标记，表示着选择完前 o - 1 株草药（并不包括当前的第 o 株，因为还没有选择它是否要采集）时已经耗费的时间ot和已经获得的价值ov。
再来思考一个问题：假设我们在之前的一次选择中，前 i - 1 株在耗费时间为 j 的前提下获得了价值 v1，当前我们dfs又一次在对第 i 株进行选择，同时当前的情况为：耗费了时间 j，且获得了价值 v2，并且v2 < v1，那么是不是意味着不管接下来如果对后面的草药进行选择，最终的结果必然不会超过之前的那次？
答案是显然的呢。
那么，聪明的你一定想到，可以开一个数组f[i][j]，用来表示选择第 i 株时，耗费了时间 j，获得的最大价值。对于每次dfs，如果我们之前没碰到过“选择第 i 株耗费时间 j”这个情况，就直接把当前价值记录到f[i][j]；而如果已经碰到过了，说明f[i][j]里已经有数据了，则直接将当前价值与f[i][j]进行比较，较大值即为更优解。再来看一下代码：
1 void dfs(int o, int ot, int ov) {
2 if (ot > T) return;
3 if (f[o][ot] > ov) return;
4 f[o][ot] = ov;
5 if (o == m + 1) return;
6 dfs(o + 1, ot, ov);
7 dfs(o + 1, ot + t[o], ov + v[o]);
8 }
我们没有用ans来存储答案了，因为答案其实已经存在f数组中，根据定义，f[m + 1][1], f[m + 1][2], ..., f[m + 1][T] 中的最大值为最终结果，用个for循环找就是了。
普通的暴力搜索，是没有记忆的；相比之下，我们增加的数组给搜索添加了记忆功能，让他有一点先见之明，而不会明知山有虎偏向虎山行。
称之为——记忆化搜索。
说了这么多，这和动态规划有什么关系呢？
四、不要递归的记忆化搜索
继续研究上面这道例题。首先前面已经说了，我们选择草药是从头到尾依次选择的，是单调的；再来看时间这个维度。
假设当前状态为 f[i][j]，即已经对前 i - 1 株进行了选择，同时消耗了时间 j；对于第 i 株，我们有两个选择：采集或者不采集。采集的话，消耗时间 t[i]，获得价值 v[i]，在时间没超过 T 的前提下，我们递归到下一层的时候，状态必然为 f[i + 1][j + t[i]]，且 f[i + 1][j + t[i]] = f[i][j] + v[i]。以此类推，也就是说，我们在递归的时候，时间必然也是一直增加的，即也是单调的。
i 和 j 两个参数都是单调变化的，为何要大费周章地用递归去实现？
我们把前面的思路倒推一下：假设当前状态为 f[i][j]，可能是从什么状态递归到这个状态的？两种情况：采集了第 i - 1 株，即从 f[i - 1][j - t[i - 1]] 递归；没采集，即从 f[i - 1][j] 递归。那么，我们完全可以通过递推的方式来实现 f 的求解！看下下面的代码：
1 for (int i = 1; i <= m; i++) 2 for (int j = 1; j <= T; j++) 3 if (j >= t[i]) 4 f[i][j] = max(f[i - 1][j - t[i]] + v[i], f[i - 1][j]); 5 else 6 f[i][j] = f[i - 1][j];
为了代码书写更为简洁，我们将 f[i][j] 的定义稍微修改下：f[i][j] 表示前 i 株草药消耗 j 的时间获得的最大价值。同样地，状态转移也就变成：
f[i][j] = max(f[i - 1][j - t[i]] + v[i], f[i - 1][j])
当然，在 j 都不能满足第 i 株有时间被采集的情况下，就默认不采集了，即
f[i][j] = f[i - 1][j]
顺水推舟，可以得到，答案也必然是 f[m][1], f[m][2], ..., f[m][T] 中的最大值。
如果能理解这个递推式了，那么，其实你已经学会最基础的动态规划啦。
五、动态规划的核心
从上面的例题中，我们提炼出动态规划的几个核心：
1、划分状态
一项任务能不能用动态规划的思想来完成，首先判断能否或者是否比较轻松的划分出子问题，以定义每个子问题的状态。
比如例题中草药，时间，价值，以及之间的关系。
2、状态表示
几乎所有动态规划离不开一个 f 数组。f 数组是一个抽象数组，他并没有例题中“v[i] 表示第 i 株草药的价值”这么直白的定义，而是，数组中的每一个值，都表示一个状态。
比如例题中的 f[i][j]，表示“前 i 株草药消耗 j 的时间获得的最大价值”。
3、状态转移
如何从一个状态转移到另一个状态是动态规划的关键，明确了状态转移方程，才能顺水推舟地一路递推下去，直到获得结果。
例题中的状态转移方程见上。
4、状态范围
初始状态是什么？每一个参数的范围在哪里？最终状态又是什么？正如你已经知道了前行的路径，还需要定义起点和终点才能出发。
六、最后
动态规划最基础的概念就是这些，而这仅仅只是一些皮毛，接下来还有动态规划的各种基本模型，以及进一步拓展的各种高级动态规划，以及动态规划的优化方法。
来源：https://www.cnblogs.com/jinkun113/p/12531918.html