chapter_1 : 方程组的几何解释

方程组的几何解释

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例子1:

• 方程组

  • $2x -y = 0$
  • $-x + 2y = 0$

• 系数矩阵

  • $\left[\begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} \right]$

• $A = \left[\begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right], \pmb x = \left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix} \right],\pmb b = \left[\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} \right]$

• $A\pmb x = \pmb b$

Row picture

column picture : linear combination of columns

• $x \left [\begin{matrix} 2 \\ -1\end{matrix} \right ] + y \left [\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right ] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right ]$
• $col_{1} = \left [\begin{matrix} 2 \\ -1\end{matrix} \right ],col_{2} = \left [\begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right ],\pmb b = \left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}\right ]$
• Previous solution : $\pmb x = (1, 2)$
  

例子2:

• $3\times 3$方程组:
  • (1) $2x - y = 0$
  • (2) $-x + 2y -z = -1$
  • (3) $-3y + 4z = 4$

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• $A = \left[\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{matrix}\right], b = \left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 4\end{matrix}\right]$

column picture

• $x\left[\begin{matrix}2 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right] + y\left[\begin{matrix}-1 \\ 2 \\ -3\end{matrix}\right]+z\left[\begin{matrix}0 \\ -1 \\ 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 \\ -1 \\ 4\end{matrix}\right]$

• $col_1 = \left[\begin{matrix}2 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right], col_2 = \left[\begin{matrix}-1 \\ 2 \\ -3\end{matrix}\right], col_3 = \left[\begin{matrix}0 \\ -1 \\ 4\end{matrix}\right]$

• $\pmb b = \left[\begin{matrix}0 \\ -1 \\ 4\end{matrix}\right]$

• $x = 0, y = 0, z = 1$

例子3 : 是否对于任意的向量$\pmb b$ , $A\pmb x = \pmb b$ 都存在解?

• $A = \left[\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right]$

不一定

• 当$A$的三个列向量处于同一平面内,例如$col_1 + col_2 = col_3$, 无论怎么组合都不能得到,平面外的向量.
  • $\pmb b$在$A$列向量所在的平面,有解
  • $\pmb b$不在$A$列向量所在的平面,无解

例子4: 九维空间中9个向量的线性组合:

• 如果9个向量之间,不存在同面,那么他们之间的组合可以覆盖整个九维空间
• 如果$col_8 = col_9$,这时的组合只能覆盖9维空间中某8个平面

矩阵和向量之间的乘法

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right], \pmb x = \left[\begin{matrix} 1 \\ 2\end{matrix}\right],A\times \pmb x = \pmb b$

1. *线性组合方式: $A\pmb x$ : 看作是$A$列向量的线性组合
   • $A\pmb x = 1\times \left[\begin{matrix} 2 \\ 1\end{matrix}\right] + 2\times \left[\begin{matrix} 5 \\ 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 12 \\ 7\end{matrix}\right]$
2. 点乘(行列向量点乘)
   • $A\pmb x = \left[\begin{matrix} \left[\begin{matrix} 2 & 5\end{matrix}\right] \cdot \pmb x \\ \left[\begin{matrix} 1 & 3\end{matrix}\right] \cdot \pmb x \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 12 \\ 7\end{matrix}\right]$

来源：CSDN

作者：今晚打佬虎

链接：https://blog.csdn.net/u014281392/article/details/104737526