数据结构-树状数组

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树状数组是较堆功能更强大的能解决 \(\texttt{RMQ}\) 问题的数据结构。

数组数组的前置知识：位运算。

数组数组的功能：单点修改区间查询，区间修改单点查询（用差分）。

首先讲 \(lowbit(x)\)，这是个位运算知识。表示 \(x\) 二进制下为 \(1\) 的最高位，如 \(lowbit((1110010)_2)=(10)_2\)，\(lowbit((110000)_2)=(10000)_2\)，\(\texttt{C++}\) 中的 \(x\&-x\) 正好能达到求 \(lowbit(x)\) 的效果。

然后树状数组中的 \(c\) 数组是个有跳跃性的前缀和数组，它通过 \(lowbit()\) 跳跃维护，然后通过 \(lowbit()\) 跳跃取值。原理较为复杂，不必深究。但是它有如下性质：

1.每次在 \(x\) 位置上 \(+y\) 时，可以这样维护 \(c[]\)：

void fix(Tree&t,int n,int x,int y){
    for(;x<=n;x+=low(x)) t.c[x]+=y;
}

2.如下方法即可求出 \(\Sigma_1^xa[i]\)：

int fsum(Tree&t,int x){
    int res=0;
    for(;x;x-=low(x)) res+=t.c[x];
    return res;
}

所以树状数组的空间复杂度为 \(O(n)\)，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

主要操作大概就是这样，那么蒟蒻就放代码了：

namespace Sumtree{
    int low(int x){return x&(-x);}
    class Tree{
    public:
        int c[N];
        Tree(){memset(c,0,sizeof(c));}
    }st;
    void fix(Tree&t,int n,int x,int y){// 在x位置上+y
        for(;x<=n;x+=low(x)) t.c[x]+=y;
    } 
    int fsum(Tree&t,int x){//求出x的前缀和
        int res=0;
        for(;x;x-=low(x)) res+=t.c[x];
        return res;
    }
}using namespace Sumtree;

有了前缀数组后，就可以单点修改区间查询了。如果想区间修改单点查询，就把每个 \(a[i]=a[i]-a[i-1]\) 然后每次修改修改区间两端的值，单点查询的时候求和。

比起线段树，树状数组功能较弱，但代码短个几十行。而且后面学树套树的时候，数组数组会好套很多。

祝大家学习愉快！

来源：https://www.cnblogs.com/Wendigo/p/12441013.html

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