【物理】电场的力和能的性质

前言

本文主要讲解处理高考物理中电场相关问题的方法，并给出例题示范。可能讲的比较简单，希望能起到抛砖引玉的作用。本文会对静电场的概念和公式进行梳理，并给出在考题中的应用。

概念和公式

电场强度和电场力

概念

电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷周围总有电场存在；同时电场对场中其他电荷发生力的作用。观察者相对于电荷静止时所观察到的场称为静电场。（维基百科）

电场力是当电荷置于电场中所受到的作用力。或是在电场中为移动自由电荷所施加的作用力。其大小可由库仑定律得出。当有多个电荷同时作用时，其大小及方向遵循矢量运算规则。（维基百科）

从上述维基百科的解释，我们可以粗略的得出以下结论：

电场是客观存在的物质；
电场力是一种以电场为施力物体的作用力；
电场力大小由得出库仑定律；
既然是力，那么自然遵从力的矢量合成法则。

公式

公式 \(\rm{I}\) （库仑定律）

\[ F=k{q_1q_2\over r^2} \]
其中 \(q_1,q_2\) 表示两个点电荷的电量，\(r\) 表示距离，\(k\) 是静电力常数，约等于 \(9\times10^9 N\cdot m^2\cdot C^{-2}\) 。
公式 \(\rm{II}\)
\[ E={F\over q} \]
这便是电场强度 \(E\) 的比值定义式，与电场力和试探电荷电量均无关。联立 \({\rm I},{\rm II}\) 可以解得\(\displaystyle E=k{q\over r^2}\)。
公式 \(\rm III\) （电场叠加原理）
\[ {\bold E}= {\sum_i} {\bold E_i}={\bold E_1}+{\bold E_2}+{\bold E_3}+\cdots \]
电场强度和电场力一样，都是矢量，故满足矢量合成法则。高考中虽然说的是只限于勾股定理的矢量合成，但是，余弦定理也是能强行导出来的嘛（逃）。

电势和电势能

概念

假设检验电荷从无穷远位置，经过任意路径，克服电场力，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。（维基百科）

在静电学里，电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。（维基百科）

不难发现，由于电场的存在，电荷在某一电势中，对外表现出电势能。电势能与引力势能相同，是一个相对的量，人为设定零势能。电势与电势能均为标量，满足代数运算法则。

公式

公式 \(\rm{I}\)
\[ E_p=\varphi q \]
其中 \(\varphi\) 表示电势，\(q\) 表示点电荷电量，\(E_p\) 表示该点电荷表现出的电势能。
公式 \(\rm II\)
\[ \varphi = k{q\over r} \]
上式为某一电量为 \(q\) 的点电荷，若设定无穷远为零势能，在距离 \(r\) 的电势。这条公式在课本里没有推导，但在题目中比较常用，个人给出以下推导：

设 \(q_1\) 为中心电荷，\(q_2\) 为试探电荷，求 \(q_2\) 在 \(r\) 位置的电势。
\[ \begin{align*} \varphi&={\displaystyle \int_r^{+\infty} k{q_1q_2\over x^2}{\rm d}x\over q_2}\\ &=kq_1\int_r^{+\infty}{1\over x^2}{\rm d}x\\ &=kq_1{\big (}0-(-{1\over r}){\big)}\\ &=k{q_1\over r} \end{align*} \]
公式 \(\rm III\)
\[ U=-\Delta\varphi \]
\(U\) 是一个过程量，表示电势差。\(\varphi\) 是一个状态量，而 \(\Delta \varphi\) 便表示它的变化量。注意区分 \(U\) 和 \(\varphi\) 。

相应的，我们也有 \(W=-\Delta E_p\)，我们可以通过本式同除以 \(q\) 得到上式。

电场强度、电场力与电势、电势能之间的关系

一般的，我们有下列公式：
\[ \begin{cases} U =Ed\\ F =Eq\\ W =Uq\\ W =Fd \end{cases} \]
下图是一个直观展示上面四个量关系的图

想必上图已经相当清楚得描述了这四个量之间的相对关系了。特别指出，\(U,W\) 是两个过程量，相对的状态量为 \(\varphi,E_p\)。那么到现在，关于静电场的基本公式已梳理完毕。

一些深入的理解

读者是否还记得“电场线”和“等势线”的概念？电场线是用来描述电场的，等势线是用来描述电势的，它们的几何关系是等势线垂直电势。

假设 \({\rm d}x\) 是很小的一段位移，而 \(d\varphi\) 是该段位移的电势变化量，设 \(U\) 为该位移的电势差，我们有
\[ \begin{align*} E&= {U\over {\rm d} x}\\ &= -{{\rm d}\varphi\over {\rm d}x} \end{align*} \]
我们先不管正负号的问题。不难发现，如果作出 \(\varphi-x\) 的图像，那么电场强度 \(E\) 的大小便是 \(\varphi\) 对 \(x\) 的导数的绝对值，相反的，\(E\) 对 \(x\) 求积分便得到 \(\varphi\)。于是我们从理论上证到了，\(\varphi-x\) 曲线在某位置斜率越大，那么该位置电场强度越大。

如果把电势能比喻成重力势能，那么等势线就可以想象成地理中的等高线，电场线所指的方向，其实就是一个小物体在山坡上的下滑方向。于是，我们得到 \(\varphi-x\) 甚至是 \(\varphi-x,y\) 的图像后，顺着斜坡的方向便是电场方向。

下图就是一个正点电荷的二维电场的图像，方程为 \(\displaystyle \varphi=k{q\over \sqrt{x^2+y^2}}\) 。看上去像是一个“空间反比例函数”。

我们知道，电势是标量，那么如果有多个点电荷，它们在空间产生的电势是直接相加的。而电场强度是标量，所以是矢量相加的。下图是一个正点电荷和一个负点电荷在二维平面上产生的电场图像。

平时如果遇到图像题，可能是 \(E_p-x,v-x,\varphi-x,E-x\) 等的图像，其实道理都差不多。而做比较电场强度和电势大小的题，有时脑海中有图像会让问题清晰很多。

例题和题解

在真空中 \(x\) 轴上的原点处和 \(x=6a\) 处分别固定一个点电荷 M、N，在 \(x=2a\) 处由静止释放一个正点电荷 P ,假设点电荷 P 只受电场力作用沿 \(x\) 轴运动，得到点电荷 P 速度大小与其在 \(x\) 轴上的位置关系如图所示（其中在 \(x=4a\) 处速度最大），则下列说法正确的是 (　　)

A. 点电荷 M、N 一定都为负电荷

B. 点电荷 M、N 一定为异种电荷

C. 点电荷 M、N 所带电荷量的绝对值之比为 \(4∶1\)

D. \(x=4a\) 处的电场强度不一定为零

这是一道典型的图像题。题目给的是 \(v-x\) 图像，但由 \(\displaystyle {E_k={1\over 2}mv^2}\) ，我们发现 \(E_k-x\) 的图像增减性与上图相同。由因为该点电荷只受电场力作用，故我们得到 \(E_k+E_p\) 的值不变，于是，\(E_p\) 增减性与上图相反，由因为正电荷，\(\varphi\) 增减性与上图相反。根据以上分析，我们可以画出 \(\varphi-x\) 的图像了。

绘制出图像发现是一个向下凹的曲线。我们已经梳理过分析电势叠加的方法，要生成该曲线，显然需要两个正点电荷，故 \(\rm A,B\) 错误。由于在 \(x=4a\) 点，曲线的斜率为 \(0\)，故我们得到该点电场强度为 \(0\)，由库仑定律得 \(\displaystyle k{q_M\over (4a)^2}=k{q_N\over (6a-4a)^2}\)，解得 \(q_M:q_N=4:1\)。故 \(\rm C\) 正确，\(\rm D\) 错误。

（多选）如图所示，在平面直角坐标系 \(xOy\) 的 \((-9,0),(9,0)\) 两点处固定着电荷量分别为 \(+q,-4q\) 的两个点电荷，\(A,B\) 为 \(y\) 轴上两点,坐标分别为 \((0,1),(0,-5)\)，M、N、P、Q四个点是以正点电荷为中心的正方形的四个顶点。在上述两个点电荷所形成的电场中，下列说法正确的是 (　　)

A. \(x=-3{\rm cm}\) 处的电场强度为 \(0\)

B. B点的电势高于A点的电势，A点的电场强度大于B点的电场强度

C. N点的电势与Q点的电势相等

D. 将某一正电荷从N点移动到M点电场力所做的功小于将其从P点移动到Q点电场力所做的功

注意电场强度是一个矢量，而电势是标量，结合 \(\displaystyle F=k{q_1q_2\over r^2}\) 以及 \(\displaystyle \varphi=k{q\over r}\) 这两条式子可以得到选项A、C是错误的。

A点与B点相比，不仅受到两个点电荷的电场强度都大，而且夹角还更小，故合称得的总电场强度一定更大。对于电势大小，有两种分析方法：令无穷远为零电势，A点离两个点电荷距离相同，但 \(-4q\) 的电荷量绝对值要更大一些，故A点电势为负值，而 \(B\) 点离两点电荷的距离是等比例的变大的，故B点电势大于A点电势；或者你发现 \(-4q\) 的电荷量绝对值大，那么它对等势线的影响肯定是更大的，故过A、B的等势线为向右开口的曲线，能得到同样的结论。故B是正确的。

D项中，由于对称性，两次移动中 \(+q\) 作的功是一样的，故只看 \(-4q\) ，比较显然，由于第一次移动时离 \(-4q\) 的距离没有第二次近，故第一次平均电场力大，而移动距离相同，于是D项正确。

当初做这题的时候，我发现了一个结论。令无穷远处电势为零，电势能为零的电势线是什么形状的？

我们用 \(q_1,q_2\) 表示两个点电荷，\(r_1,r_2\) 分别表示点离两点电荷的距离，电势能为零的点满足以下条件。
\[ k{q_1\over r_1}+k{q_2\over r_2}=0 \]
化简得 \(\displaystyle {r_1\over r_2}=-{q_1\over q_2}\)，在 \(q_1,q_2\) 为异种电荷，且电荷量不相等的情况下。这条表达式，竟然是圆的第二定义，也就是阿氏圆。

于是，经过稍稍拓展之后，我出了下面这道题（可能会有没考虑到的地方）：

空间中有两个点电荷 \(q_1,q_2\) ，该空间的等势面中存在且仅存在一个球面，且该球面的直径与 \(q_1,q_2\) 的距离相等，求 \(q_1\) 与 \(q_2\) 电荷量之比（假设 \(|q_1|>|q_2|\)）。

大概说一下思路吧。首先，拍扁成二维平面，原题等价于该平面的等势线中存在且仅存在一个圆，且该圆的直径与 \(q_1,q_2\) 距离相等。然后，由上述的结论可得，设 \(\displaystyle \lambda ={r_1\over r_2}\) ，原题所求的 \(\displaystyle {q_1\over q_2}\) 之比其实就是 \(-\lambda\) 。通过设一些长度，我们可以解方程解得 \(\lambda=\sqrt2+1\)，于是我们得到原题答案为 \(-\sqrt2 -1\)。

然后我问了班上的一个物竞生，他知道这个东西，并且告诉我，圆心与两点电荷连线长度的乘积等于半径的平方。我试了一下，确实是这样的，可能这个结论能用在以后的数学题里吧？