DirectX学习笔记一 #数学基础

1.基本概念

向量：有向线段，长度和方向是2个重要属性。DirectX中，Vector可以表示点坐标、方向等信息。

坐标系：DirectX中使用的是左手坐标系。

单位向量（unit vector）:模为1的向量称为单位向量。

2.DirectX中与向量有关的类——D3DXVECTOR3（一般是3D的，还有2D和4D的向量）

D3DXVECTOR3类定义如下：

可以看到，D3DXVECTOR3类实际上定义了一个结构体，这个结构体有float型的3个数据成员，分别表示3维向量的3个分量，此外，还有一些个运算符重载是用于向量的计算的。

3.向量的计算

略过求模，规范化（求单位向量），向量加减，数乘。。。只讲点积、叉积

记住，点积是两个向量的对应分量相乘(component-wise multiply)再相加。

如上所述，当u、v都是单位向量时，它们的点积就等于向量夹角的余弦值。（这可以用来计算light和plane的夹角，从而根据不同的角度计算光照量）

3.矩阵

忽略矩阵加减、数乘，只讲逆矩阵和转置矩阵。逆矩阵主要是用于逆变换，即还原为变换前的状态；而引出转置矩阵主要就是为了计算逆矩阵，因为计算逆矩阵需要用到转置矩阵。另外，记住一点，对于规范化的矩阵，它的逆矩阵和转置矩阵相等。这就提供了一个快速计算逆矩阵的方法，因为转置矩阵不就是转了一下而已，根本不用计算。

矩阵的叉积：

为帮助记忆，可写成行列式的形式，即：

DirectX中矩阵的表示：

可见，DirectX中的矩阵都是4x4的。

通过括号运算符可访问到矩阵的任一元素，如M(2, 3)=1.0f;

单位矩阵是除了对角线上全为1其它元素均为0的方阵。

4.因为我们的变换矩阵都是4x4的，但是我们的向量是3D的，那么就涉及到一个向量从3D扩展到4D的问题。我们通过给一个3D向量增加一个分量u，并且规定当u=0时，表示这个向量是不可平移的；

当u=1时，表示这个向量是可以平移的（这个向量存放的可能是一个点的坐标，点是可以平移的）。

5.变换矩阵

#平移变换

通过指定沿x、y、z轴的偏移量，我们可以用这个函数”构造“出一个平移变换矩阵。

例如，要变换一个点P(x, y, z, 1)，经过P=P*T的平移变换后，新的P=(x+px, y+py, z+pz, 1)

#旋转变换

绕y轴、z轴旋转的函数于此类似。

#缩放变换

6.补充知识

平面

D3DXPLANE结构体略。。。

其中，n为平面的法向量，而d为常数=>由 n`(p-po)=0，得n`p-n`po=0，那么d=-n`po.其中po是平面内的确定的某一点。

点面关系的确定：在平面上，在平面的前方or在平面的后方。

其中，函数D3DXPlaneDotCoord()的功能（Remark:Given a plane (a, b, c, d) and a 3D vector (x, y, z) the return value of this function is a*x + b*y + c*z + d*1. The D3DXPlaneDotCoord function is useful for determining the plane's relationship with a coordinate in 3D space. ）就是计算n.p+d的值，从而根据这个值的正负或零确定点面的关系。记住D3DXPlane结构的四个分量中，前三个分量a,b,c是平面的法向量n，第四个分量d是常量-n.po.

#平面的其它创建方法：指定法向量和一个点，用D3DXPlaneFromPointNormal(); 指定三个点，用D3DXPlaneFromPoints().

#平面法向量的规范化