树与树算法

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1、每个节点有零个或多个子节点；
2、没有父节点的节点称为根节点；
3、每一个非根节点有且只有一个父节点；
4、除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
例：
在这里插入图片描述

树的术语
1、节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2、树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
3、叶节点或终端节点：度为零的节点；
4、父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
5、子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
6、兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
7、节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
8、树的高度或深度：树中节点的最大层次；
9、堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
10、节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
11、子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
12、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树的种类
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
排序二叉树；
霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

常见的一些树的应用场景
1.xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树；
2.路由协议就是使用了树的算法；
3.mysql数据库索引；
4.文件系统的目录结构；
5.所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构。

树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。
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链式存储：

由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2。

二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树的性质

1、在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）;
2、深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）;
3、对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
4、具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1);
5、对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1，其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）。

二叉树的创建

1、通过使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子。

class Tree_Node(object):
    """树节点类"""
    def __init__(self, elem=-1, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = elem
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

2、创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点。

class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self, root=None):
        self.root = root
    def add(self, elem):
        """为树添加节点"""
        node = Tree_Node(elem)
        # 如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            # 对已有的节点进行层次遍历
            while queue:
                # 弹出队列的第一个元素
                cur = queue.pop(0)
                if cur.lchild == None:
                    cur.lchild = node
                    return
                elif cur.rchild == None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    # 如果左右子树都不为空，加入队列继续判断
                    queue.append(cur.lchild)
                    queue.append(cur.rchild)

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点。

    def breadth_travel(self):
    """利用队列实现树的层次遍历"""
    if self.root == None:
        return
    queue = []
    queue.append(self.root)
    while queue:
        cur = queue.pop(0)
        print(cur.elem,end=' ')
        if cur.lchild != None:
            queue.append(cur.lchild)
        if cur.rchild != None:
            queue.append(cur.rchild)
    print('')

if __name__ == "__main__":
    T = Tree()
    for i in range(1,10):
        T.add(i)
    T.breadth_travel()

#运行结果
1 2 3 4 5 6 7 8 9

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。深度遍历有重要的三种方法，这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。我们来给出它们的详细定义，然后举例看看它们的应用。
1、先序遍历
在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树。
根节点->左子树->右子树

def preorder(self, root):
    """递归实现先序遍历"""
    if root == None:
        return
    print(root.elem,end=' ')
    self.preorder(root.lchild)
    self.preorder(root.rchild)

2、中序遍历
在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树。
左子树->根节点->右子树

def inorder(self, root):
    """递归实现中序遍历"""
    if root == None:
        return
    self.inorder(root.lchild)
    print(root.elem,end=' ')
    self.inorder(root.rchild)

3、后序遍历
在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点。
左子树->右子树->根节点

def postorder(self, root):
    """递归实现后续遍历"""
    if root == None:
        return
    self.postorder(root.lchild)
    self.postorder(root.rchild)
    print(root.elem,end=' ')

测试
在这里插入图片描述

if __name__ == "__main__":
    T = Tree()
    for i in range(10):
        T.add(i)
    print('层次遍历：',end='')
    T.breadth_travel()
    print('先序遍历：', end='')
    T.preorder(T.root)
    print('')
    print('中序遍历：', end='')
    T.inorder(T.root)
    print('')
    print('后序遍历：', end='')
    T.postorder(T.root)

#运行结果
层次遍历：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
先序遍历：0 1 3 7 8 4 9 2 5 6 
中序遍历：7 3 8 1 9 4 0 5 2 6 
后序遍历：7 8 3 9 4 1 5 6 2 0