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一.最小生成树之算法
Prim算法适用于稠密图 Kruskal适用于稀疏图
（，最小生成树）问题有两种通用的解法，算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗，大致思想是：设图顶点集合为，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合，再从集合中找到另一点b使得点到中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入，此时就构建出了一颗。因为有N个顶点，所以该就有条边，每一次向集合中加入一个点，就意味着找到一条的边。
算法图文详解链接
用代码照着上面链接的图推一遍，很清晰的，只不过图中的mst[i]=0在代码里体现的是-1，以及新起点(mst[i]=-1)是不会再更新的。
完整代码（计算最短距离并输出路径）
输入
7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24
输出
1 6 10
6 5 25
5 4 22
4 3 12
3 2 16
2 7 14
weight of mst is 99
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ifstream in("input.txt");
ofstream out("output.txt");
#define debug(x) cerr<<"# "<<x<<endl
const ll N=2e3;
const ll base=137;
const ll mod=2147483647;
const ll INF=1<<30;
ll mp[N][N];
ll n,m,x;
ll lowcost[N],mst[N];
void prim(ll u)//最小生成树起点
{
ll sum_mst=0;//最小生成树权值
for(int i=1;i<=n;++i)
{
//初始化从当前的起点（起点会变）到i的距离（权值）
lowcost[i]=mp[u][i];
mst[i]=u;
}
mst[u]=-1;//等于-1就意味着已经放到了mst集合里了
for(int i=1;i<n;++i)//n-1条边，迭代n-1次就好
{
ll minn=INF;
ll v=-1;//flag
//在lowcost数组中寻找还未加入mst的最小值
for(int j=1;j<=n;++j)
{
if(mst[j]!=-1&&lowcost[j]<minn)
{//需要更新就更新
v=j;
minn=lowcost[j];
}
}
if(v!=-1)//如果找到了最小边
{
//输出路径（起点，终点，距离）
printf("%lld %lld %lld\n",mst[v],v,lowcost[v]);
//标记一下，已经找到了，这个点已经不能走人了
mst[v]=-1;
sum_mst+=lowcost[v];
for(int j=1;j<=n;++j)
{
if(mst[j]!=-1&&lowcost[j]>mp[v][j])
{
lowcost[j]=mp[v][j];
mst[j]=v;
}
}
}
}
printf("weight of mst is %lld\n",sum_mst);
}
int main()
{
freopen("input.txt","r",stdin);
freopen("output.txt","w",stdout);
scanf("%lld %lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
ll u,v,w;
scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&w);
mp[u][v]=mp[v][u]=w;//邻接矩阵存无向图
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
{
if(i==j)mp[i][j]=0;
else if(!mp[i][j])mp[i][j]=INF;
}
}
prim(1);
return 0;
}
堆优化版本
时间复杂度为
具体代码见文末的例题
二.最小生成树之算法
算法是基于贪心的思想得到的。首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。至于怎么合并到一个集合，那么这里我们就可以用到一个工具——-并查集换而言之，算法就是基于并查集的贪心算法。
时间复杂度
算法图文详解链接
完整代码（计算最短距离并输出路径）
输入：
7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24
输出：
1 6 10
3 4 12
2 7 14
2 3 16
4 5 22
5 6 25
weight of mst is 99
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<double,ll>pdl;
ifstream in("input.txt");
ofstream out("output.txt");
#define debug(x) cerr<<"# "<<x<<endl
const ll N=10005;
const ll base=137;
const ll mod=2147483647;
const double INF=double(0x7f7f7f7f*1.0);
//const double INF=double(INT_MAX*1.0);
ll t,n,m,x;
struct edge
{
ll u,v,w;
bool operator<(const edge& a)const
{
return w<a.w;
}
}a[N];
ll par[N],high[N];
inline void init(ll n)
{
for(int i=0;i<n;++i)
{
par[i]=i;
high[i]=0;
}
}
//查
//查询树的根
inline ll Find(ll x)
{
return par[x]==x?x:par[x]=Find(par[x]);
}
//并
inline void unite(ll x,ll y)
{
x=Find(x);
y=Find(y);
if(x==y)return ;
//谁高谁是爸爸
if(high[x]<high[y])
par[x]=y;
else {
par[y]=x;
if(high[x]==high[y])
high[x]++;
}
}
//判
inline bool check(ll x,ll y)
{
return Find(x)==Find(y);
}
inline kruskal(ll n,ll m)//点数n,边数m
{
ll sum_mst=0;//mst权值
ll num=0;//已选择边的边数
sort(a,a+m);
init(n);
for(int i=0;i<m;++i)
{
ll u=a[i].u;
ll v=a[i].v;
if(Find(u-1)!=Find(v-1))//注意图最开始的下标是1，并查集是0
{
printf("%lld %lld %lld\n",u,v,a[i].w);
sum_mst+=a[i].w;
num++;
unite(u-1,v-1);
}
if(num>=n-1)break;
}
printf("weight of mst is %lld\n",sum_mst);
}
int main()
{
scanf("%lld %lld",&n,&m);
for(int i=0;i<m;++i)
{
scanf("%lld %lld %lld",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
}
kruskal(n,m);
return 0;
}
三.和相对比
时间上
适合稠密图，复杂度为
)，因此通常使用邻接矩阵储存；但是堆优化为 。
稠密图 优于 ，稀疏图 优于 。
空间上
适合点少边多， 适合边多点少。
注意：堆优化的 Prim 用空间换时间，空间要求更高。
USACO07DEC道路建设（算法+堆优化与+路径压缩对比）
USACO07DEC道路建设Building Roads（算法+堆优化与+路径压缩对比）
可以看到下图两种方法比较：
：
:
答案详解链接
来源：CSDN
作者：繁凡さん
链接：https://blog.csdn.net/weixin_45697774/article/details/104553363