原码、补码

计算机的整型数可以分为有符号数和无符号数。有符号数使用最高位作为符号位。以一个字节(8bits)的存储为例。无符号为表示区间为[0, 255], 有符号数为[-128, 127]。
计算机二进制表示中，整数常用补码表示。正整数时补码和原码是等价的。

原码表示法

使用最高位作为符号位，其余位按照正常的换算方式。例如+1，-1分别表示为0000 0001，1000 0001。两者只有符号为不同。原码表示的区间为[-127, +127]。

补码表示法

正数的补码等于原码，负数的补码等于对应正数的取反加一。
举例来说，+127的补码为0111 1111，-127的补码是1000 0001。
这让负数补码看起来很反直觉。给定一个负数补码，我想知道对应的值，得减一取反得到绝对值再加上负号。这有的加一，有的减一的完全反应不过来。
其实有一种符合直觉的看法，先定义正数补码然后根据正数定义负数补码。基于
$x+(-x)=0$
$x$为正数，$-x$就是负数，上式表示为正数加上负数。假设我们已经定义好了正数补码，比如+127(0111 1111)。我们将负数补码表示定义为与对应正数补码表示相加等于零的数。因此负数应该表示为(1000 0001),这就是-127。
1000 0001的计算步骤分为两步，

• 第一找到一个数与对应正数相加使二进制变成全1。
  $0111\quad1111 + 1000\quad0000=1111\quad1111$
  这是得到1000 0000。
• 接着再让1111 1111溢出，变成真正的零值。
  $0111\quad1111 + 1000\quad0000 + 0000\quad0001 \\ = 1111\quad1111 + 0000\quad0001 \\ =1\quad0000\quad0000$
  把溢出位置扔掉就是最终的结果。
  上面是从正数算负数，那么从负数算正数也可以使用同样的办法，压根不用考虑到底是加一还是减一。
  举个例子：
  -127(1000 0001) -> 0111 1110+0000 0001->0111 1111(+127)
  +127(0111 1111)-> 1000 0000 + 0000 0001 -> 1000 0001(-127)
  所以不管从正数推负数还是负数推正数都只用加一操作。

用正负相加等于零的方式还带来一个好处，不需要减法。
对任意 $x-y$看成$x+(-y)$,例如$1-127$:
$1-127=(0000\quad0001) - (0111\quad1111)\\ =1000\quad0010\\ =1+(-127)\\ =(0000\quad0001)+ (1000\quad0001)=1000\quad0010\\$
做减法的时候如果不够减就向高位借，实在不够就向溢出位借。
总结上述操作就是先定义正数，使用$x+(-x)=0$的办法来定义对应负数，并且等于零是用数值溢出的办法得到的，计算时将减法转换为加法，同时上述操作符号位也都参与计算。

以上的操作似乎很一致，并且符合直觉。但是有一个数是例外，-128。8bits 补码表示的区间是[-128, 127], +128是没有定义的，-128也就没办法用上述的办法定义。
用补充的办法将这个边界值定义为 1000 0000，试着用上面的办法计算其对应的值，我们发现其对应正值还为1000 0000，也就是说符号为仍为1。所以这个边界值是上述转换方法的一个bug，但是不影响计算，因为符合借位计算的思想，也符合加周期取模的思想。

来源：CSDN

作者：呆坐的熊

链接：https://blog.csdn.net/Lin_RD/article/details/104573650