树状数组 | 易学教程

树状数组可以看作线段树的变形，不同于线段树可以计算区间和，区间最大/最小值，树状数组一般只能完成以下操作：

给定一个初始值全为0的数列 $a_1...a_n$

给定 $i$ ,计算 $a_1+a_2+...+a_i$ ，即前缀和
给定 $i$ 和 $x$ ，执行 $a_i+=x$ 。

基于线段树的实现

如果使用线段树执行上述功能，只需要对介绍过的RMQ进行少量的修改，就可以实现，线段树每个节点维护区间的和。
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接下来，我们重点关注给定区间始末 $s,t$ ，如何求得 $a_s+a_{s+1}+...+a_t$ ，对于线段树，我们直接进行区间的迭代查询即可。但是有时这个效率依然是不够的

此时，如果我们维护前缀和 $sum[i]=a_0+...+a_i$ ，那么只需要计算 $sum[t]-sum[s]$ 即可。在这样的限制下在这样的思路下，对线段树进行改造，会让他发生什么变化呢？我们会发现，线段树所有右儿子的值我们都不在需要进行维护
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有了 $[0-3]$ 的前缀和相当于 $sum[3]$ 和 $0-1$ 的前缀和相当于 $sum[1]$ ，我们就不再需要 $[2-3]$ 的前缀和，因为$sum[3]-sum[1]就是2-3的和。基于这种思路得到的数据结构就是BIT(Binary Indexed Tree)。

BIT

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所谓BIT就是把线段树中不需要的节点去掉之后，再把剩下的节点对应到数组中。让我们对比每个节点对应的区间的长度和节点编号的二进制表示。以1结尾的1,3,5,7的长度是1，最后有1个0的2,6 的长度是2, 最后有2个0的4的长度是4……这样，编号的二进制表示就能够和区间非常容易地对应起来。利用这个性质，BIT可以通过非常简单的位运算实现。

BIT的求和

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计算前 $i$ 项的和需要从 $i$ 开始，不断把当前位置 $i$ 的值加到结果中，并从i中减去 $i$ 的二进制最低非0位对应的幂,直到 $i$ 变成0为止。 $i$ 二进制的最后一个1可以通过 $i\&-i$ 得到。解释一下，计算机内二进制存储形式是补码，正数变负数，补码的话是最后一个非零位不变，这之前的所有位取反，因此正数与他相反数的与就是最后一个非零位的权值。