在正文开始之前感谢一下几篇论文 & 博客以及一位大佬 remoon_OFN。
1. 2016国家集训队论文任之洲《积性函数求和的几种方法》
2. PoPoQQQ 的相关题解（%%%）。
3. 当然除此之外还有很多……
其实两三个月之前我就已经接触过反演了，但在那个时候对反演完全是一种懵逼的状态。重点其实还是在于通过自己多推式子，多化式子来理解和接受卷积的这样一种运算。当然，丰富的数论知识也是必不可少的（有时候一些题目会用到一些奇奇怪怪的性质）。实际上，反演就是已知一个函数 \(g\) 与 \(f\) 的关系，要通过 \(f\) 求出 \(g\)，或通过 \(g\) 求出 \(f\)。反演，可以理解为一种变换。那么，莫比乌斯反演就是一种特别的变换：
若我们有 \(f = 1 * g\)
则有 \(g = \mu * f\)
这是一种式子的变形，当原本的式子中出现了\(f\) 或 \(g\) 的时候，可以考虑用另一个函数来替换它，从而找到一个易求得的式子。常用的卷积关系有如下几种：
\(\mu * 1 = \epsilon \)
\(\phi * 1 = id\)
\(id * \mu = \phi\)
（以上式子中的函数均为积性函数）。注意：积性函数的卷积依然为积性函数，并且卷积满足结合律， 交换律，分配律。
首先我们通过一道简单的题目来感受一下卷积和反演所起到的作用：题面在此：HAOI2011
注意到\(i, j\) 都有一定的范围，但是这样的范围显然可以通过容斥来解决。所以问题转化为：如何快速求出
\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}gcd\left ( i, j \right ) = k\)
发现如果是\(i,j\)的最大公约数为\(k\)，那么\(gcd\left ( \frac{i}{k} , \frac{j}{k} \right ) = 1\)。
所以我们改为枚举\(\frac{i}{k} , \frac{j}{k}\) ：
\(\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}gcd\left ( i, j \right ) = 1\)
注意到最后是一个判别式，所以是一个原函数\(\epsilon \)
联想到\(\mu * 1 = \epsilon \)
我们将式子转化为\(\sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d|gcd\left ( i,j \right )}\mu \left ( d \right )\)
又因为这其中的\(d\)对于每一个是其倍数的二元组\(\left ( i,j \right )\)产生贡献
所以有\(\sum_{d = 1}^{n}\mu \left ( d \right )\left \lfloor \frac{n}{dk} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dk} \right \rfloor\)
此时我们进行数论分块，前缀和优化一下求解就可以啦。
大概有一些常见的套路：
1. 与lcm，gcd有关都可以考虑转化为 \(\mu\)；
2. 当发现 \(\mu\) 做起来比较困难（如杜教筛不出）可以尝试用容斥转化为求 \(\phi\)，当枚举的上界是一个变量的时候，也可以转为求 \(\phi\)，往往比较方便；
3.当式子中出现一个仅与一个枚举的变量相关的式子，例如枚举某个数的约数，可以考虑把它表示为 \(h(i)\) ，单独预处理；例如约数函数等可以在根号内处理出来的；
4.如果有枚举两个数再乘积，一般都要转化为枚举乘积再枚举约数；
5.如果要求的式子中有一些比较奇怪的函数，要分析函数的性质，转化成熟悉的 \(\mu \ \phi\) 等等。
6.构造杜教的函数可以一层一层的转化，写成卷积的式子会比较便于化式子 & 转化；
以下是几道题，按照个人认为的难度大致排了一下次序，应该会陆续写出题解：
1.HAOI2011 Problem b
2.YY的GCD
3.CQOI2015选数
4.SDOI2015约数个数和
5.Crash的数字表格 / JZPTAB
6.bzoj3309 DYZ loves math
7.简单的数学题（杜教筛）
8.SDOI2014数表
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然后还有没做的，但感觉非常神的几道题：
1.bzoj4174 tty的求助
2.树上的毒瘤 \ bzoj3512 DZY Loves Math IV
3.bzoj3601一个人的数论
祝大家食用愉快……
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一点更新：
1.51nod1220 约数之和
2.51nod1222 最小公倍数之和
3.51nod1227 平均最小公倍数
4.51nod1238 最小公倍数之和V3
5.51nod1584 加权约数和
6.[SDOI2017]数字表格
来源：https://www.cnblogs.com/twilight-sx/p/9160276.html