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《算法》笔记 15

由 拜拜、爱过 提交于 2020-02-27 08:10:22

  • 暴力子字符串查找算法

  • 隐式回退

  • 性能

  • 显式回退

  • Knuth-Morris-Pratt算法

  • 确定有限状态自动机

  • DFA的构造

  • 性能

  • Boyer-Moore算法

  • 跳跃表的构建

  • 性能

  • Rabin-Karp指纹字符串算法

  • 关键思想

  • Horner方法

  • 性能

字符串的一种基本操作就是子字符串查找。比如在文本编辑器或是浏览器中查找某个单词时，就是在查找子字符串。子字符串的长度（可能为100或1000）相对于整个文本的长度（可能为100万甚至是10亿）来说一般是很短的，在如此多的字符中找到匹配的模式是一个很大的挑战，为此计算机科学家们发明了多种有趣、经典且高效的算法。

### 暴力子字符串查找算法

要解决这个问题，首先想到的是暴力查找的方法，在文本中模式可能出现匹配的任何地方检查是否匹配。

#### 隐式回退

首先是隐式回退的实现方式，之所以叫隐式回退，在与显式回退的实现对比后就明白原因了。


public static int search(String pat, String txt) {

int patL = pat.length();

int txtL = txt.length();

  

for (int i = 0; i <= txtL - patL; i++) {

int j;

for (j = 0; j < patL; j++)

if (txt.charAt(i + j) != pat.charAt(j))

break;

if (j == patL)

return i;

}

return txtL;

}

用一个索引i跟踪文本，另一个索引j跟踪模式。对于每个i，代码首先将j重置为0，并不断把它加1，直到找到了一个不匹配的字符，或者j增加到patL，此时就找到了匹配的子字符串。

#### 性能

在一般情况下，索引j增长的机会很少，绝大多数时候在比较第一个字符是就会产生不匹配。

在长度为N的文本中，查找长度为M的子字符串时：

  • 在最好情况下，对于每个i，在索引j=0时就发现了不匹配，一共需要进行N次字符比较；

  • 在最坏的情况下，对于前N-1个i，索引j都需要增加到M-1次，才会发现不匹配，最后一次匹配，比如文本和模式都是一连串的A接一个B。这种情况下，对于N-M+1个可能的匹配位置，都需要M次比较，一共需要进行M*(N-M+1)次比较，因为N远大于M，所以忽略小数值后结果为~NM。

#### 显式回退


public static int search1(String pat, String txt) {

int j, patL = pat.length();

int i, txtL = txt.length();

  

for (i = 0, j = 0; i <= txtL && j < patL; i++) {

if (txt.charAt(i) == pat.charAt(j))

j++;

else {

i -= j;

j = 0;

}

}

if (j == patL)

return i - patL;

else

return txtL;

}

与隐式回退一样，也使用了索引i和j分别跟踪文本和模式的字符，但这里的i指向的是匹配过的字符序列的末端，所以这里的i相当与隐式回退中的i+j，如果字符不匹配，就需要回退i和j的位置，将j回退为0，指向模式的开头，将i指向本次匹配的开始位置的下一个字符。

隐式回退的实现方式中，匹配位置的的末端字符是通过i+j指定的，所以只需要将j重新设为0，就实现了文本和模式字符的回退。

### Knuth-Morris-Pratt算法

暴力算法在每次出现不匹配时，都会回退到本次匹配开始位置的下一个字符，但其实在不匹配时，就能知道一部分文本的内容，因此可以利用这些信息减少回退的幅度，Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP算法）就是基于这种思想。

比如，假设文本只有A和B构成，那么在查找模式字符串为B A A A A A A A时，如果在匹配到第6个字符时出现不匹配，此时可以确定文本中的前6个字符就是B A A A A B，接下来不需要回退i，只需将i+1, j+2后，继续和模式的第二个字符匹配即可，因为模式的第一个字符是B，而上一次匹配失败的末尾字符也是B。

而对于文本A A B A A B A和模式A A B A A A，在文本的第6个字符处发现不匹配后，应该从第4个字符开始重新匹配，这样就不会错过已经匹配的部分了。

KMP算法的主要思想就是提前判断如何重新开始查找，而这种判断只取决于模式本身。

#### 确定有限状态自动机

KMP算法中不会回退文本索引i，而是使用一个二维数组dfa来记录匹配失败时模式索引j应该回退多远。对于每个字符c，在比较了c和pat.charAt(j)之后，dfa[c][i]表示的是应该和下个文本字符比较的模式字符的位置。

这个过程实际上是对确定有限状态自动机（DFA）的模拟，dfa数组定义的正是一个确定有限状态自动机。DFA由状态（数字标记的圆圈）和转换（带标签的箭头）组成，模式中的每个字符都对应着一个状态，用模式字符串的索引值表示。

【DFA】图和数组

在标记为j的状态中检查文本中的第i个字符时，自动机会沿着转换dfa[txt.charAt(i)][j]前进并继续将i+1，对于一个匹配的转换，就向右移动一位，对于一个不匹配的智慧，就根据自动机的指示回退j。自动机从状态0开始，如果到达了最终的停止状态M，则查找成功。

#### DFA的构造

DFA是KMP算法的核心，构造给定模式对应的DFA也是这个算法的关键问题。DFA指示了应该如何处理下一个字符。如果在pat.charAt(j)处匹配成功，DFA应该前进到状态j+1。但如果匹配失败，DFA会从已经构造过的模式中获取到需要的信息，以模式 A B A B A C的构造过程举例：

下面表格表示dfa[][]，横向表头表示模式字符，括号中是当前的状态。

1.初始状态，各位置都是0：

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|0|0|0|0|0|0|

B|0|0|0|0|0|0|

C|0|0|0|0|0|0|

2.先看字符匹配成功时的情况，这时对应的状态会指向下一个状态：

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|0|3|0|5|0|

B|0|2|0|4|0|0|

C|0|0|0|0|0|6|

3.在状态0，匹配失败时，无论是B还是C都退到初始状态，重新开始；

4.在状态1，匹配失败时，如果此时的字符为A，则文本为A A，可以跳过状态0，直接到状态1，与A(0)行为一致，所以将A(0)的值复制到B(1)，在DFA中对应的值也为1；而对于字符C，文本为A C，只能退回到状态0,重新开始

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|1|||||

B|0|2|||||

C|0|0|||||

5.在状态2，匹配失败时，如果此时的字符为B，则文本为A B B，回到状态0；如果是字符C，文本为A B C，也只能退回到状态0。

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|1|3||||

B|0|2|0||||

C|0|0|0||||

6.在状态3，匹配失败时，如果此时的字符为A，则文本为A B A A，直接到状态1；如果是字符C，文本为A B A C，回到状态0

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|1|3|1|||

B|0|2|0|4|||

C|0|0|0|0|||

7.在状态4，匹配失败时，如果此时的字符为B，则文本为A B A B B，回到状态0；如果是字符C，文本为A B A B C，回到状态0

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|1|3|1|5||

B|0|2|0|4|0||

C|0|0|0|0|0||

8.在状态5，匹配失败时，如果此时的字符为a，则文本为A B A B A A，回到状态1；如果是字符B，文本为A B A B A B，回到状态4，因为前面的A B A B都是匹配的，可以跳过。

-|A(0)|B(1)|A(2)|B(3)|A(4)|C(5)

-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:

A|1|1|3|1|5|1|

B|0|2|0|4|0|4|

C|0|0|0|0|0|6|

通过以上过程可知，在计算状态为j的DFA时，总能从尚不完整、已经计算完成的j-1个状态中得到所需的信息。


dfa\[pat.charAt(0)\]\[0\] = 1;

for (int X = 0, j = 1; j < M; j++) {

for (int c = 0; c < R; c++)

dfa\[c\]\[j\] = dfa\[c\]\[X\];

dfa\[pat.charAt(j)\]\[j\] = j + 1;

X = dfa\[pat.charAt(j)\]\[X\];

}

代码中，用X维护了每次重启时的状态，然后具体的做法是：

  • 匹配失败时，将dfa[][X]复制到dfa[][j]；

  • 匹配成功时，将dfa[pat.chatAt(j)][j]的值设为j+1；

  • 将X更新为dfa[pat.charAt(j)][X]

初始化完成dfa后，查找的代码为：


public int search(String txt) {

int i, j, N = txt.length(), M = pat.length();

for (i = 0, j = 0; i < N && j < M; i++) {

j = dfa\[txt.charAt(i)\]\[j\];

}

if (j == M)

return i - M;

else

return N;

}

#### 性能

在长度为N的文本中，查找长度为M的子字符串时，KMP算法会先初始化dfa，访问模式字符串中的每个字符一次，查找时在最坏情况下，会把文本中的字符都访问一次，所以KMP算法访问的字符最多为N+M个。

KMP算法为最坏情况提供线性级别运行时间的保证。虽然在实际应用中，KMP算法相比暴力算法的速度优势并不明显，因为现实情况下的文本和模式一般不会有很高的重复性。

但KMP算法还有一个非常重要的优点，就是它不需要在输入中回退，这使得KMP算法非常适合在长度不确定的输入流中进行查找，而那些需要回退的算法在处理这种输入时却需要复杂的缓冲机制。

### Boyer-Moore算法

KMP算法不需要在输入中回退，但接下来学习的Boyer-Moore算法却利用回退获得了巨大的性能收益。

Boyer-Moore算法是从右向左扫描模式字符串的，比如在查找模式字符串B A A B B A A时，如果匹配了第7、第6个字符，然后在第5个字符处匹配失败，那么就可以知道文本中对应的第5 6 7个字符分别是X A A，而X必然不是B，接下来就可以直接跳到第14个字符了。但并不是每次都能前进这么大的幅度，因为模式的结尾部分也可能出现在文本的其他位置，所以和KMP算法一样，这个算法也需要一个记录重启位置的数组。

#### 跳跃表的构建

有了记录重启位置的数组，就可以在匹配失败时，知道应该向右跳跃多远了，使用一个right数组记录字母表中的每个字符在模式中出现的最靠右的地方，如果字符在模式中不存在，则表示为-1。right数组又称为跳跃表。

构建跳跃表时，先将所有元素设为-1，然后对于0到M-1的j，将right[pat.chatAt(j)]设为j。


public BoyerMoore(String pat) {

this.pat = pat;

int M = pat.length();

int R = 256;

right = new int\[R\];

for (int c = 0; c < R; c++)

right\[c\] = -1;

for (int j = 0; j < M; j++)

right\[pat.charAt(j)\] = j;

}

模式 N E E D L E对应的跳跃表为


A B C D E ... L M N

-1 -1 -1 3 5 -1 4 -1 0

算法会使用一个索引i在文本从左向右移动，用索引j在模式中从右向左移动，然后不断检查txt.charAt(i+j)和pat.charAt(j)是否匹配，如果对于模式中的所有字符都匹配，则查找成功；如果匹配失败，分三种情况处理：

  • 如果造成匹配失败的字符不在模式中，则将模式字符串向右移动j+1个位置，小于这个偏移量都会使模式字符串覆盖的区域中再次包含该字符；

. . . T L E . . .

N E E D L E

^ ^

i j

  

. . . T L E . . .

N E E D L E

^ ^

i增大j+1 j重置为M-1
  • 如果字符在模式中，则根据跳跃表，使该字符和它在模式字符串中对应最右的位置对齐，小于这个偏移量也会使该字符与模式中其它字符重叠；

. . . N L E . . .

N E E D L E

^ ^

i j

  

. . . N L E . . .

N E E D L E

^

i增大j-right\['N'\]
  • 如果根据跳跃表得出的结果，无法使模式字符串向右移动，则将i+1，保证至少向右移动了一个位置。

. . . . . E L E . . .

N E E D L E

^ ^

i j

  

. . . . . E L E . . .

N E E D L E

这种情况会使模式字符串向右移动，只能将i+1

  

. . . . . E L E . . .

N E E D L E

^

i=i+1

查找算法的实现为：


public int search(String txt) {

int N = txt.length();

int M = pat.length();

int skip;

for (int i = 0; i <= N - M; i += skip) {

skip = 0;

for (int j = M - 1; j >= 0; j--) {

if (pat.charAt(j) != txt.charAt(i + j)) {

skip = j - right\[txt.charAt(i + j)\];

if (skip < 1)

skip = 1;

break;

}

}

if(skip==0) return i;

}

return N;

}

#### 性能

最好情况下，每次跳跃的距离都是M，那么最终只需要N/M次比较。

在最坏的情况下，跳跃失效，等同于暴力算法，比如在一连串A A A A A ...中查找B A A ...，这时需要M*N次比较。

在实际应用场景中，模式字符串中仅含有字符集中的少量字符是很常见的，因此几乎所有的比较都会使算法跳过M个字符，所以一般来说算法需要~N/M次比较。

### Rabin-Karp指纹字符串算法

M.O.Rabin和R.A.Karp发明的基于散列的字符串查找算法，与前面两种算法的思路完全不同。计算模式字符串的散列值，然后使用相同的散列函数，计算文本逐位计算M个字符的散列值，如果得出的散列值与模式字符串的散列值相同，就再继续逐字符验证一次，确保匹配成功。

但如果直接按照这种方式，得出的算法效率减比暴力算法还要低很多，而Rabin和Karp发明了一种能够在常数时间内算出M个字符的子字符串散列值的方法，这使得这种算法的运行时间降低到了线性级别。

### 关键思想

散列函数一般使用除留余数法，除数选择一个尽量大的素数。算法的关键在于只要知道上一个位置M个字符的散列值，就能够快速得算出下一个位置M个字符的散列值。以数字字符串来举例：


2   6   5   3   5 %997=613

  

5   9   2   6   5   3   5

5   9   2   6   5 %997=442

    9   2   6   5   3 %997=929  

        2   6   5   3   5 %997=613(匹配)

在上面的过程中，模式字符串26535可以看作一个十进制的数字，它要匹配的每M个字符也都可以看作是一个M为的整数，59265用997取余后的结果为442，接下来92653取余时不需要重头计算


59265=5*10000+9265

92653=9265+3*1

所以

92653=(59265-5\*10000)\*10+3*1

而对于普通的字符串，如果它的字符集中有R个字符，则可以把这些字符串看作是R进制的数字，用t<sub>i</sub>表示txt.charAt(i)，则：

x<sub>i</sub>=t<sub>i</sub>R<sup>M-1</sup>+t<sub>i+1</sub>R<sup>M-2</sup>+...+t<sub>i+M-1</sub>R<sup>0</sup>

与得出92653的过程一样，将模式字符串右移一位即等价于将x<sub>i</sub>替换为：

x<sub>i+1</sub>=(x<sub>i</sub>-t<sub>i</sub>R<sup>M-1</sup>)R+t<sub>i+M</sub>

### Horner方法

计算散列值时，如果是int值，可以直接取余，但对于一个相当于R进制的数字的字符串，要得出它的余数，就需要用Horner方法，Horner方法的理论依据是，如果在每次算术操作之后都将结果除Q取余，这等价于在完成了所有算术操作之后再将最后的结果除Q取余：


private long hash(String key, int M) {

    long h = 0;

    for (int j = 0; j < M; j++)

        h = (R * h + key.charAt(j)) % Q;

    return h;

}

对于一个R进制的数字，从左至右，将它的每一位数字的散列值乘以R，加上这个数字，并计算除Q的余数。

那么随着索引i的增加，逐位计算M个字符的散列值时，就可以利用跟Horner方法相同的原理了：


public class RabinKarp {

private String pat;

private long patHash;

private int M;

private long Q;

private int R = 256;

private long RM;

  

public RabinKarp(String pat) {

this.pat = pat;

M = pat.length();

Q = longRandomPrime();

RM = 1;

for (int i = 1; i <= M - 1; i++)

RM = (R * RM) % Q;

patHash = hash(pat, M);

}

  

private boolean check(String txt, int i) {

for (int j = 0; j < M; j++)

if (pat.charAt(j) != txt.charAt(i + j))

return false;

return true;

}

  

private long hash(String key, int M) {

long h = 0;

for (int j = 0; j < M; j++)

h = (R * h + key.charAt(j)) % Q;

return h;

}

  

// a random 31-bit prime

private static long longRandomPrime() {

BigInteger prime = BigInteger.probablePrime(31, new Random());

return prime.longValue();

}

  

public int search(String txt) {

int N = txt.length();

long txtHash = hash(txt, M);

if (patHash == txtHash && check(txt, 0))

return 0;

for (int i = M; i < N; i++) {

txtHash = (txtHash + Q - RM * txt.charAt(i - M) % Q) % Q;

txtHash = (txtHash * R + txt.charAt(i)) % Q;

if (patHash == txtHash)

if (check(txt, i - M + 1))

return i - M + 1;

}

return N;

}

}

#### 性能

取余所选的Q值是一个很大的素数，这里使用的是使用BigInteger.probablePrime生成的一个31位素数，其大小与2<sup>31</sup>接近，那么在将模式字符串的散列值与文本中M个字符的散列值比较时，产生冲突的概率约为2<sup>-31</sup>，这是一个极小的值，所以算法中的check方法可以省略掉，Rabin-Karp算法的性能为线性级别，

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