1.递归问题之约瑟夫问题

文章目录

• 约瑟夫问题
• 问题描述
• 解决思路
• 扩展思考

约瑟夫问题

问题描述

从围成标记有记号1到n的圆圈的n个人开始，每隔一个人删去一个人，知道只剩一个人。例如n=10的起始图形：

消去的顺序是2，4，6，8，10，3，7，1，9，于是5幸存了下来。问题：确定幸存的号码$J(n)$。

解决思路

1. 从简单情形出发，找规律

$n$	1 2 3 4 5 6
$J(n)$	1 1 3 1 3 5

发现并没有明显规律。

2. 发现$J(2n)$与$J(n)$的关系：
   
   J(20)时，删去2,4,6…2n后，剩下的情形和J(n)相似，个数与顺序相同就表明幸运号码在相同的地方，不同之处就是，每项的数字大小，容易得到：
   $J(2n)=2J(n)-1$
   类似的发现 $J(2n+1)=2J(n)+1$
   由以上递推式可以列表：

$n$	1	2 3	4 5 6 7	8 9 10 11 12 13 14 15	16 …
$J(n)$	1	1 3	1 3 5 7	1 3 5 7 9 11 13 15	1 …

可以得出
$J(2^k+m)=2m+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k,m=0,1,2...$

扩展思考

1. 在求解过程中，2的幂起着重要作用，所以自然要来研究n和J(n)的以2为基数的表示。假设n的二进制形式为:
   $n=(b_mb_{m-1}...b_1b_0)_2=2^m+(b_{m-1}...b_1b_0)_2$ 其中 $b_m=1$
   则有
   $J(n)=2*(b_{m-1}...b_1b_0)_2+1\\ =(b_{m-1}...b_1b_00)_2+1\\ =(b_{m-1}...b_1b_0b_m)_2$
   即，可以看到$J(n)$的值是2进制表示时$n$循环向左移动一位的值。
2. 我们再来考虑$J(J(n))$,自然想到的是$n$的2进制值向左循环2位即可。但实际上如果$n$为$(101)_2$时，移动一位有$J((101)_2)=(011)_2$,正确。此时若不删除0继续左移一位，则$J(J((101)_2))=3<(110)_2=6$。根据问题的定义我们知道$J(n)\leq n$，当首位为0，不删除继续循环左移的话得到的数值肯定会变大，即$J(n)>n$，所以此类情况错误。
3. 接下来我们考虑$\overbrace{J(J(...J(n)...)}^{m个J()}$的情况，这意味着我们要将2进制的n循环左移m位，其中每当0在首位时就删去0，当$m$足够大时最终结果将会得到稳定的值(全部由1组成)，期间数值逐渐减小。
   概括一下，就是最终结果会是n的2进制值中所有1的构成的值$(1...1)_2$

来源：CSDN

作者：listorm

链接：https://blog.csdn.net/w8s8l8z8/article/details/104430401