理论背景
数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简单的。同余是数学竞赛的重要组成部分。
同余定理
给定一个正整数 m，如果两个整数 a 和 b 满足 m|(a-b)，即 a-b 能够被 m 整除，或者 (a-b)/m 得到一个整数，那么就称整数 a 与 b 对模 m 同余，记作 a≡b(mod m)。对模 m 同余是整数的一个等价关系。例如：26≡2(mod 12)。
显然，有如下事实：
（1）若 a≡0(mod m)，则 m|a；
（2）a≡b(mod m) 等价于 a 与 b 分别用 m 去除，余数相同。
证明
充分性：m|(a-b) → a≡b(mod m)
设 a=mq1+r1，b=mq2+r2，且 0≤r1, r2<m。
∵ m |(a-b)，又 a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)。
∴必有常数 n 使得 (r1-r2)=mn。
则有 m|(r1-r2)。
∵0≤r1, r2<m，
∴0≤|r1-r2|<m，
∴r1-r2=0，
即 r1=r2，故 a≡b(mod m)。
必要性：a≡b(mod m) → m|(a-b)
设 a，b 用 m 去除余数为 r，即 a=mq1+r，b=mq2+r。
∵m(q1-q2)=(a-b)，
∴m|(a-b)。
性质
1、反身性：a≡a (mod m)。
2、对称性：若 a≡b(mod m)，则 b≡a (mod m)。
3、传递性：若 a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则 a≡c(mod m)。
4、同余式相加：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则
。
5、同余式相乘：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则 ac≡bd(mod m)。
6、线性运算：若 a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，那么（1）
；（2）a*c≡b*d(mod m)。
7、除法：若 a*c≡b*d(mod m)，则 a≡b(mod m/gcd(c,m))，其中 gcd(c,m) 表示 c 和 m 的最大公约数。特殊地，gcd(c,m)=1 则 a≡b(mod m)。
8、幂运算。若 a≡b (mod m)，那么
。
9、若 a≡b (mod m)，n=m，则 a≡b (mod n)。
10、若
，则 
，其中 
表示 
的最小公倍数。
相关定理
欧拉定理
设
，则 
。
其中
指模 m 的简系个数，
，如果 m 是素数，则：
。
费马小定理
若 p 为素数，则
，即 
（但是 p|a 时不等价）。
中国剩余定理
设整数
两两互素，令 
。则对于任意的 j 在 (1,n) 整数，下列联立的同余式有解：
令 x 为 1 到 n，
和 
的和，则 x 适合下列联立同余式，
。
另：求自然数 a 的个位数字，就是求 a 与哪一个一位数对于模 10 同余。
来源：CSDN
作者：justidle
链接：https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104440266