详解最小生成树中的克鲁斯卡尔算法
0x01.关于克鲁斯卡尔算法
Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。克鲁斯卡尔算法主要针对边集数组展开。
0x02.基础代码
这个算法主要是针对边集数组，先来看一下边集数组的结构:
//边集数组
typedef struct
{
int begin;
int end;
int weight;
}Edge;
通常用到邻接矩阵，所以还需要由邻接矩阵转化为边集数组。另外这个算法还需要按照边的权值升序排序。
void OperationEdge(Graph G, Edge* edges)
{
int i, j,k;
k = 0;
for (i = 0; i < G.numv; i++)
{
for (j = i+1; j < G.numv; j++)//只需要转化邻接矩阵的一半，无向图
{
if (G.edge[i][j] != INTMAX && G.edge[i][j] != 0)
{
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.edge[i][j];
k++;
}
}
}
for (i = 0; i < k-1; i++)//简单交换排序
{
for (j = i + 1; j < k; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
Edge tmp;
tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
}
克鲁斯卡尔算法代码（简单版）：
void MinSpanTree_Kruskal(Graph G)
{
int i, n, m;
Edge edges[MAXSIZE];//定义边集数组
int parent[MAXSIZE];//用于判断树是否会成环
OperationEdge(G, edges);//邻接矩阵向边集数组转换，并升序排序
for (i = 0; i < G.numv; i++)//初始化
{
parent[i] = 0;
}
int cou = 0;//计数器，记录实际上已加入生成树的边数
for (i = 0; i < G.nume; i++)
{
if (cou == G.numv - 1)//加入生成树的边等于顶点数-1，已经完成了最小生成树的建立，退出循环
{
printf("最小生成树构造完成！！！");
break;
}
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
if (n != m)//没有成环，加入生成树
{
cou++;
parent[n] = m;
printf("边 %c到%c ，权值为 %d ，已加入生成树", G.ver[edges[i].begin], G.ver[edges[i].end], edges[i].weight);
}
}
}
0x03.过程详解
首先看一个最原始的图：
再来看一下边集数组中的值：
开始模拟运行：
第一次循环，由于parent数组内容都为0，所以进入Find函数后之间返回，n=4，m=7，此时n于m不相等。parent[4]=7，边E--H加入生成树。（具体parent如何发挥作用看下文）
第二次循环，0进入Find函数后之间返回，n=0，1也立即返回，m=1，此时parent[0]=1，边A--B加入生成树。
第三次循环，0进入Find函数后，由于Find[0]=1，所以开始再一次小循环，f=parent[0]=1，parent[1]=0，退出小循环，所以返回1，n=1，5进入Find函数后，立即返回，m=5，parent[1]=5，边A--F加入生成树。
第四次循环，1进入Find函数后，parent[1]=5，所以继续进行小循环，f=parent[1]=5，parent[5]=0，退出循环，n=5，8进入循环后，立即退出，m=8，parent[5]=8，边B--G加入生成树。
此时的parent为[1,5,0,0,7,8,0,0,0].
第五次循环，3进入Find函数，parent[3]=0，立即返回，n=3，7进入Find函数，立即返回，m=7，parent[3]=7，边D--H加入生成树。
此时的parent为[1,5,0,7,7,8,0,0,0].
第六次循环，1进入Find函数，parent[1]=5，继续，f=parent[1]=5，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=0，返回，n=8，6进入Find函数，parent[6]=0，返回，m=6，parent[8]=6，边B--G加入生成树。
此时的parent为[1,5,0,7,7,8,0,0,6].
第七次循环，5进入Find函数，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=6，f=parent[8]=6，parent[6]=0，返回，n=6，6进入函数，parent[6]=0，返回，m=6，此时m=n，成环，由图可以看出的确成环，具体原理在下方。
第八次循环，1进入Find函数，parent[1]=5，f=parengt[1]=5，parent[5]=8，f=parent[5]=8，parent[8]=6，f=parent[6]=0，返回，n=6，2进入函数，parent[2]=0，返回，m=2，不成环，parent[6]=2，边B--C加入生成树。
此时的parent为[1,5,0,7,7,8,2,0,6].
第九次循环，6进入Find函数，parent[6]=2，f=parent[6]=2，parent[2]=0，返回，n=2，7进入循环，parent[7]=0，返回，m=7，不成环，parent[2]=7，边G--H加入生成树。
由于9个顶点只需要八条边就能完成生成树，所以到此，生成树其实已经完成。我们可以试一试，此时，继续进入parent函数会发生什么。
第十次循环，3进入parent函数，parent[3]=7，f=parent[3]=7，parent[7]=0，返回，n=7，4进入循环，parent[4]=7，parent[7]=0，m=7，我们发现，当parent数组中只有一个值为0的情况下，任意两个数传进Find函数，一定都是等于那个值为0的下标，后序所有的循环无意义。
0x04.原理详解
parent数组和Find函数究竟如何理解？
parent数组实际上是并查集这种数据结构的一种表达，关于并查集可以百度了解。
在这个算法的不断加入生成树中，其实形成了许多的小树，而整个算法的目的就是将这些小树连接成一棵树，Find函数的目的就是找到每棵小树的根结点，也就是说返回的n和m的值其实是两棵小树的根节点，如果相等，那么就有两棵小树的根结点相同，既然是两棵小树，根节点相同了，肯定就是连通了，如果不相等，就连通两棵小树，连通的代码是parent[n]=m，这端代码的实际含义就是连通了两棵小树，并以新加入的结点作为的根结点，其中Find函数的那个小循环其实就是寻找一颗小树的根结点，如果和其它没有连通，那么这条边单独做为一棵小树，并以一头为根，f=parent[f]，这段代码其实就是不断向上去找的含义，去找到根结点。
原理如上了，那么我们怎么去具体理解这些代码呢？
对于parent数组，我们可以看看什么时候往里加了元素，加的元素的下标和值都是什么意义，不难发现，parent数组一直只是往里添加并查看元素，并没有改变过里面元素的内容，添加元素的关键代码就是parent[n]=m，也就是说在n的位置上添加数值m，我们从刚开始的时候去看，刚开始parent里面都为0，进入Find函数都是直接返回，如第一条边，4，7，直接返回后，有parent[4]=7，这个就是说，下标为4的顶点的根设置为7，我们再来看一下第二个循环，0，1，都是立即返回，parent[0]=1，说明下标为0的结点的根为1，第三次，0，5，进入Find函数后，返回n=1，也就是说定的顶点A的根是1，也就是B，m=5，然后有parent[1]=5，说明顶点B的根结点变成了5，就这样一次理解，我们就可以知道parent数组里面的内容含义是什么。
对于Find函数，我们可以看一下参数和返回分别是什么样的情况，参数是f，也就是边集数组里的边的一个端点，返回条件是，parent数组中的f位置的值为0，其实也就是找到根结点了，f=parent[f]，就是不断的向上去找根结点，可以理解为一个顶点的根节点找到后，再继续找这个根结点的根节点，最后找到了这棵树的根结点。
0x05.克鲁斯卡尔算法感悟
这个算法巧妙的利用了一个已经排序的边集数组，然后从头开始去把里面的边加入生成树，应为是有序的，所以从一开始，就已经满足了最小的这个条件，接下来只要判断这些边能不能生成树，也就是由没有闭合就行了，代码简便不少，非常精炼。
0x06.普里姆算法和克鲁斯卡尔算法比较
普里姆主要针对顶点展开，而克鲁斯卡尔主要针对边，各有优势，前者适合稠密图，后者适合稀疏图。
本章结束。
来源：CSDN
作者：如颖随心-＞A
链接：https://blog.csdn.net/ATFWUS/article/details/104370679