1 欧拉公式

e^iπ-1=0;
i=(-1)^1/2，就是虚数。
写个方程
y=e^ix;
求导 y^’=ie^ix;
如果把y看做向量，那么y^’则垂直于y,也就是垂直于实轴；
通常，导数可以看做y增长的速度；
那么二次导数可以看做加速度；
求二次导 y^’’=-1e^ix;
可以看出加速度垂直于速度，那么这个y点，将做圆周运动；
由于导数的绝对值是1，所以当x=x₁时，y点将走过一段长为x₁的圆弧，当x=π时，刚好转了半圈，所以才有
e^iπ-1=0;
然后所以得出
e^ix=cos(x)+isin(x),x=[0,2π];
可以把复平面中的乘法理解为旋转；
e^ia*e^ib=e^i(a+b);
也就是复数相乘，等于模相乘，弧度相加，但在这里，模都是1，所以只有弧度相加。

2 多项式的表示

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+……+a_nxⁿ;
这是系数表示法
如果这样的两个多项式相乘，就会很麻烦，要算n²次，所以要把多项式转化成一些点，然后将点相乘，就可以简单点，只需算n次；
我们可以用几个点来确定这个多项式，最简单的情况就是告诉你两个点，你可以确定一条直线，f(x)=a₀+a₁x,这条直线有a₀,a₁，两个未知数，你可以用两个点确定。
那么对于f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+……+a_nxⁿ;
你可以用n+1个点确定(从0到n)。

点值相乘

举个例子
A(x)=a₀+a₁x;
由(x₁,y_A1),(x₂,y_A2)确定；
B(x)=b₀+b₁x
;由(x₁,y_B1),(x₂,y_B2)确定；
A(x) * B(x)=C(x)=c₀+c₁x+c₂x²;
你把两条直线相乘可以得到一条二次函数线（抛物线），你把A,B两条直线的两个点对应的y值相乘，可以得到位于C曲线上的两个点
(x₁,y_C1),(x₂,y_C2),y_C1=y_A1 *y_B2 , y_C2=y_A2 *y_B2;
那么很显然，C有三个未知数（c₀,c₁,c₂),需要三个点才能确定。
所以尽管你可以用两个点确定这条直线，但为了用点值相乘后的点确定这条抛物线，你还是需要在这条直线上选取3个点才行。
所以
A(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ;
B(x)=b₀+b₁x+…+b_mx^m;
A(x)*B(x)=C(x)=c₀+c₁x+…c_n+mx^n+m;
C由m+n+1个点确定（从0到m+n)；
所以A和B要取各m+n+1个点
(x₁,y_A1),(x₂,y_A2)…(x_m+n+1,y_Am+n+1)
(x₁,y_B1),(x₂,y_B2)…(x_m+n+1,y_Bm+n+1)

3傅里叶转换取点

你按正常方法算这些点的y值也是很麻烦的
y_A1=a₀+a₁x₁+…+a_nx₁ⁿ;
算一个点就需要加n次
况且你需要算n+m+1个点；
所以我们选用傅里叶转换的方法取点，
因为待会可以将其升级为快速傅里叶转换（fft);

在复平面上取点

傅里叶转换取点是在复平面上取点，欧拉公式是在复平面上的一个圆，
e^ix=cos(x)+isin(x),x=[0,2π];
我们要取m+n+1个点，也就是说需要m+n+1个x；
那我们就把这个圆用m+n+1个点平分，每一个点代表一个x的值；
设一个t=(2π/(m+n+1)),那么每一段弧度为e^it,
设w=e^it，我们可以将其称为单位弧度；
这次的x我们从0来编号（因为在圆中，2π=0）；
x₀=w⁰，
y_A0=a₀+a₁(w⁰)+a₂(w⁰)²+…+a_n(w⁰)ⁿ;
y_B0=b₀+b₁(w⁰)+b₂(w⁰)²+…+b_m(w⁰)^m
下面以此类推，将w⁰换成w¹,w²等
x₁=w¹;
x₂=w²
.
.
.
x_n+m=w^m+n;
为什么要这么取点呢，因为除了可以fft外，还可以由点确定系数值时方便一些，你肯定不希望通过联立方程组来求未知数吧。

傅里叶逆转换

傅里叶逆转换就是由点确定系数
先不进行相乘，先只是傅里叶转换然后逆转换；
那么只取n+1个点就行了
这里t=2π/(n+1),w=e^it;
y₀=a₀+a₁(w⁰)+a₂(w⁰)²+…+a_n(w⁰)ⁿ=Σ_i=0ⁿ(a_i(w⁰)ⁱ);
y₁=Σ_i=0ⁿ(a_i(w¹)ⁱ);
y₂=Σ_i=0ⁿ(a_i(w²)ⁱ);
.
.
y_n=Σ_i=0ⁿ(a_i(wⁿ)ⁱ);
然后再设一个多项式
P(x)=y₀+y₁x+y₂x²+…+y_nxⁿ;
然后先说一个结论，
P(w^-i)=a_i/(n+1);
形象理解一下，P(x)一共有n+1项，每一项都含有a_i（其余的a会相互抵消）,所以要除(n+1),然后它为什么会等于a_i呢，
举个例子‘
P(w^-2)=a₂/(n+1);
P(w^-2)=Σ_i=0ⁿ(a_i(w⁰)ⁱ)+Σ_i=0ⁿ(a_i(w¹)ⁱ)(w^-2)¹+Σ_i=0ⁿ(a_i(w²)ⁱ)(w^-2)²+…+Σ_i=0ⁿ(a_i(wⁿ)ⁱ)*(w^-2)ⁿ;
会发现，当每一项的i=2时，其对应的a₂的系数都会为一，可以说每一项的a₂都“恰好被转回来了”，而其他的a的系数会相互抵消，假设n=4,然后以a₃的系数被抵消为例，
第1项的a₃的系数为1；
第2项的a₃的系数为(w¹)³ *(w^-2)¹=w¹;
第3项的a₃的系数为(w²)³ *(w^-2)²=w²;
第4项的a₃的系数为(w³)³ *(w^-2)³=w³;
第5项的a₃的系数为(w⁴)³ *(w^-2)⁴=w⁴;
w=e^i(2π/5);
这五个数在复平面上的点刚好是正五边形的五个顶点，画个图试试，把这五个数代表的复平面向量加起来，刚好为零。
所以这个傅里叶逆转换可以理解为，所求的系数刚好都被刚好“逆转”到了实数轴，其他的系数散落在负平面上的圆上，其点组成的图形的重心在圆心，所以互相抵消为零。

4快速傅里叶转换

主要快在取点上，从这里开始，多项式一共有n项，且n为2的整数次幂；
举个例子，假设n=8；
A(x)=a₀+a₁x¹+a₂x²+…+a₇x⁷;
y₀=a₀+a₂+a₄+a₆ + a₁+a₃+a₅+a₇;
y₄的，我就直接把w⁴(w=e^i(2π/8))带进去算出来
y₄=a₀+a₂+a₄+a₆ - a₁-a₃-a₅-a₇;
y₂=a₀+a₄-a₂-a₆ +w²(a₁+a₅-a₃-a₇);
y₆=a₀+a₄-a₂-a₆ -w²(a₁+a₅-a₃-a₇);
把每个y分为两部分,a下标为偶数一部分，奇数一部分。
y=(a₀+a₂x²+a₄x⁴+a₆x⁶)+x(a₁+a₃x²+a₅x⁴+a₇x⁶);
而wⁱ=-w^i+n/2;
y_i=X+Y;
y_i+n/2=X-Y;i<=n/2;
所以我们只求出一半的y就可以直接得出另一半，既然可以这样那我们得寸进尺只求出一半的一半就可以了,再少一点…
仔细观察y₀与y₂
y₀=a₀+a₂+a₄+a₆ + a₁+a₃+a₅+a₇;
y₂=a₀+a₄-a₂-a₆ +x(a₁+a₅-a₃-a₇);
所以，一半的一半
y=(a₀+a₄x⁴+x²(a₂+a₆x⁴))+x(a₁+a₅x⁴+x²(a₃+a₇x⁴));
然后一直二分，复杂度只有nlogn;
所以我们先求最小的一部分然后两两合并…
快速逆转换也和这个一样，只是系数变了；

5程序

如果题目给的两个多项式的项数，xⁿ,x^m,
最后一共m+n+1项，如果不是2的幂，那么就补上系数为零的项；
然后因为递归还是要慢一些，所以我们先把数组转换成二分完之后的顺序，以8为例
0 1 2 3 4 5 6 7
0 4 2 6 1 5 3 7
用二进制表示就是
000 001 010 011 100 101 111
000 100 010 110 001 101 111
就是把每一个数的二进制倒过来了。
转换之后直接按顺序算，先每2个算，然后合并成4个，4个合并成8个…
下面这个是洛谷模板题，题解中有代码
链接: P3803.

来源：CSDN

作者：Cyber angel

链接：https://blog.csdn.net/zhanglikun19/article/details/104168132

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fft