位运算与MOD快速幂详细知识点

孤街醉人 提交于 2020-02-07 08:15:14

最近写的一些题目设计到了数论的取模

如下题

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3003/G
来源:牛客网

                    时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒
                    空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K
                        64bit IO Format: %lld

题目描述

  牛可乐有七个整数 a,b,c,d,e,f,g.并且他猜想ad +be+cf =g 但是牛可乐无法进行如此庞大的计算。请验证牛可乐的猜想是否成立。

 输入描述:

  第一行一个正整数 T,表示有 T 组数据。
  每组数据输入一行七个整数a,b,c,d,e,f,g 。
  保证 1≤T≤1000 , −109≤a,b,c,g≤109, 0≤d,e,f≤109 保证不会出现指数和底数同为 0 的情况。

输出描述:

    每组数据输出一行,若猜想成立,输出 Yes ,否则输出 No。

 

示例:

  输入:

    2
    1 1 4 5 1 4 258
    114514 1919810 1 2 3 4 1

  输出:

    Yes
    No

  说明:

    15+11+44=258
    1145142+19198103+14 ≠ 1

这一题设计数论中的取模知识,现实运用则是快速幂(这题就是快速幂的模板题),然后快速幂就涉及位运算,所以此文就以此题为扩展,浅谈MOD运算快速幂与位运算。

当然这题直接暴力也行,但主要学习快速幂,先给暴力再标程(这个是提交记录里找的一个河南理工学长的代码(学长一直在更改代码提交,等等再研究他在思考什么),看了感觉他的代码长度较短,易懂,运行时间很短,内存占据较少,学长主页:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/profile/287389065)

  暴力:

  

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main(){
 4     long long n,a,b,c,d,e,f,g;
 5     cin>>n;
 6     while(n--){
 7         cin>>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;
 8         long long x=pow(a,d),y=pow(b,e),z=pow(c,f);
 9         if(x+y+z==g)cout<<"Yes"<<endl;
10         else cout<<"No"<<endl;
11     }
12     return 0;
13 }

 

  快速幂:

  

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int mod=252585;
 5 ll qk(ll a,ll b)
 6 {
 7     ll res=1;
 8     while(b)
 9     {
10         if(b&1) res=res*a%mod;
11         a=a*a%mod;
12         b>>=1;
13     }
14     return res;
15 }
16 int main()
17 {
18     int t;
19     cin >>t;
20      
21     while(t--)
22     {
23         ll a,b,c,d,e,f,g;
24         cin >>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g;
25         if(((qk(a,d)+qk(b,e))%mod+qk(c,f))%mod==g%mod) cout <<"Yes"<<endl;
26         else cout <<"No"<<endl;
27     }
28      
29 }

 

 

位运算:

  基本运算符:

  

 

 

 

  ‘&’  实际运用:

    (1)判断奇偶

      因为二进制中偶数最后一位必定是0,奇数必定是1,所以对对一个数进行&运算等价于%=2

      

 

 

 

      

 

 

 

    (2)清零

          若想对一个存储单元清零,即使其全部二进制位为0,只要找一个二进制数,其中各个位符合一下条件:
      原来的数中为1的位,新数中相应位为0。然后使二者进行&运算,即可达到清零目的。

    例:

      66(10)= 01000010(2)

      189(10) = 10111101(2)

      则 66&189 = 0

 

      

 

 

 

     (3)取一个数中某些特定位

        若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节,只需要将a与8个1按位与即可。
     

        

 

 

    (4)保留指定位

        例如:有一数84,即01010100(84),想把其中从左边算起的第3,4,5,7,8位保留下来,运算如下:

 

        

 

 

  ‘ | ’  实际运用:

     更改指定位置为1

      例:如果想使一个数a的低4位改为1,则只需要将a与17(8)进行按位或运算即可。

      

 

 

   ‘ ^ ’实际运用

    (1)GCD快速求解

      

1 int GCD(int a,int b){
2     while(b^=a^=b^=a%=b);  //与a,b大小顺序无关
3     return a;
4 }

 

    (2)使特定位翻转

      设有数01111010(2),想使其低4位翻转,即1变0,0变1.可以将其与00001111(2)进行“异或”运算,即:

      

 

      运算结果的低4位正好是原数低4位的翻转。可见,要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为1即可。

 

     (3)与0相“异或”,保留原值

        例如:012^00=012

        

       因为原数中的1与0进行异或运算得1,0^0得0,故保留原数。

    (4)交换两个值,不用临时变量

    例如:a=3,即 1|1|(2);b=4,即1|0|0(2)。
      想将a和b的值互换,可以用以下赋值语句实现:
      a=a^b;
      b=b^a;
      a=a^b;
      a=011(2)
      (^)b=100(2)
      a=111(2)(a^b的结果,a已变成7)
      (^)b=100(2)
      b=011(2)(b^a的结果,b已变成3)
      (^)a=111(2)
      a=100(2)(a^b的结果,a已变成4)

      --等效于以下两步:
      ① 执行前两个赋值语句:“a=a^b;”和“b=b^a;”相当于b=b^(a^b);
      ② 再执行第三个赋值语句: a=a^b。由于a的值等于(a^b),b的值等于(b^a^b),因此,相当于a=a^b^b^a^b,即a的值等于a^a^b^b^b,等于b。

 

  左右移实际运用:

    左右移x相当于乘除2的x次(都是在未溢出的情况下),为了更好理解以十进制数为例,12345类似左移为123450相当于乘10,右移则是1234相当于除以10.因为是位运算所以比单纯的乘除要快。

    左移1位相当于该数乘以2,左移2位相当于该数乘以2*2=4,15 << 2=60,即乘了4 。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
    假设以一个字节(8位)存一个整数,若a为无符号整型变量,则a=64时,左移一位时溢出的是0,而左移2位时,溢出的高位中包含1。

      右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位,移动的位数由右操作数指定(右操作数必须是非负值),移到右端的低位被舍弃,对于无符号数,高位补0。对于有符号数,某些机器将对左边空出的部分用符号位填补(即“算术移位”),而另    一些机器则对左边空出的部分用0填补(即“逻辑移位”)。

    注意:
      对无符号数,右移时左边高位移入0;对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移    位;移入1的称为“算术移位”。

    例: a的值是八进制数113755,
      a:1001011111101101 (用二进制形式表示)
      a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
      a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
    

    在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1,左面移入高位的是1。

    

MOD运算:

  取余与取模还是有区别的,见 https://blog.csdn.net/coder_panyy/article/details/73743722

  mod运算,即求余(取模)运算,是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算,且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算,其格式为: mod(nExp1,nExp2),即是两个数值表达式作除法运算后的余数。

  给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :

  取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。

  运算规则

    模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:

      (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

      (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

      (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

      a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)

    结合律:

      ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

      ((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

    交换律:

      (a + b) % p = (b+a) % p (7)

      (a * b) % p = (b * a) % p (8)

    分配律:

      (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p (9)

      ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)

    重要定理:

      若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(11)

      若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(12)

      若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),(a * c) ≡ (b * d) (%p);(13)

  

    a≡b (mod n)表示a与b对模n同余。

    “≡”是数论中表示同余的符号。即给定一个正整数n,如果两个整数a和b满足a-b能被n整除,即(a-b)modn=0,那么就称整数a与b对模n同余,记作a≡b(modn),同时可成立amodn=b。

    *扩展资料

    同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余的主要性质如下:

    1、自反性:a≡a(mod m)。

    2、对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)。

    3、传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m), 则a≡c(mod m)。

 

 

快速幂:

  首先推荐一篇博客,讲的非常透彻  https://blog.csdn.net/qq_19782019/article/details/85621386

  所以这里简单搬运和演示

  

  我们在初等数学中已知指数函数图像如下图:

                    

  那么在指数X超过某一值时,a^x 的值就开始急剧增长,以 → ∞,所以结果则会超过数据范围,因此我们需要结合MOD运算公式(公式(3)或者公式(4))对计算进行精确。

  则此时的核心代码如下:

 1 /**
 2  * 普通的求幂函数
 3  * @param base 底数
 4  * @param power  指数
 5  * @return  求幂结果的最后3位数表示的整数
 6  */
 7 long long normalPower(long long base,long long power){
 8     long long result=1;
 9     for(int i=1;i<=power;i++){
10         result=result*base;
11         result=result%1000;
12     }
13     return result%1000;
14 }

 

  如果直接了当的求解pow(a,n),那么时间复杂度为O(N),既N次循环。

  那么快速幂的核心思想就是“遇奇则减,遇偶则方(“开方与平方”)”,如求3^10,则有以下路径:

  

3^10 = 9^5     //遇偶则方
9^5  = 9^4 * 9^1    //遇奇则减
9^4  = 81^2
81^2 = 6561^0 * 6561^1

那么 3^10 = 6561^0 * 6561^1 * 9^1 

 

   原本需要10次的算法,我们通过快速幂4次就算出了结果,由O(N) -> O(log N)

  搬运上述博客模拟动图

   

 

 

 那么代码将变为:

 1 long long fastPower(long long base, long long power) {
 2     long long result = 1;
 3     while (power > 0) {
 4         if (power % 2 == 0) {
 5             //如果指数为偶数
 6             power = power / 2;//把指数缩小为一半
 7             base = base * base % 1000;//底数变大成原来的平方
 8         } else {
 9             //如果指数为奇数
10             power = power - 1;//把指数减去1,使其变成一个偶数
11             result = result * base % 1000;//此时记得要把指数为奇数时分离出来的底数的一次方收集好
12             power = power / 2;//此时指数为偶数,可以继续执行操作
13             base = base * base % 1000;
14         }
15     }
16     return result;
17 }

 

将语句简化:

 1 long long fastPower(long long base, long long power) {
 2     long long result = 1;
 3     while (power > 0) {
 4         if (power % 2 == 1) {
 5             result = result * base % 1000;
 6         }
 7         power = power / 2;
 8         base = (base * base) % 1000;
 9     }
10     return result;
11 }

 

结合位运算:

long long fastPower(long long base, long long power) {
    long long result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power & 1) {//此处等价于if(power%2==1)
            result = result * base % 1000;
        }
        power >>= 1;//此处等价于power=power/2
        base = (base * base) % 1000;
    }
    return result;
}

 

所以得到模板:

 1 typedef long long ll;
 2 const ll mod=1e9+7;
 3 ll fastPower(ll base,ll power)
 4 {
 5     ll ans=1, res=base;
 6     while(power){
 7         if(power&1) ans=ans*res%mod;
 8         res=res*res%mod;
 9         power>>=1;
10     }
11     return ans%mod;
12 }

 

扩展递归写法:

  注:不建议使用递归写法,容易超内存!

1 typedef long long ll;
2 const ll mod=1e9+7;
3 ll fastPower(ll m,ll n){   
4     if(n==1) return m;
5     int temp=fastPower(m,n>>1);
6     return (n&1? m%mod : 1)*temp*temp%mod;  //奇偶在此表现出差异
7 }

 

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