最近写的一些题目设计到了数论的取模
如下题
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3003/G
来源:牛客网
空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
牛可乐有七个整数 a,b,c,d,e,f,g.并且他猜想ad +be+cf =g 但是牛可乐无法进行如此庞大的计算。请验证牛可乐的猜想是否成立。
输入描述:
第一行一个正整数 T,表示有 T 组数据。
每组数据输入一行七个整数a,b,c,d,e,f,g 。
保证 1≤T≤1000 , −109≤a,b,c,g≤109, 0≤d,e,f≤109 保证不会出现指数和底数同为 0 的情况。
输出描述:
每组数据输出一行,若猜想成立,输出 Yes ,否则输出 No。
示例:
输入:
2
1 1 4 5 1 4 258
114514 1919810 1 2 3 4 1
输出:
Yes
No
说明:
15+11+44=258
1145142+19198103+14 ≠ 1
这一题设计数论中的取模知识,现实运用则是快速幂(这题就是快速幂的模板题),然后快速幂就涉及位运算,所以此文就以此题为扩展,浅谈MOD运算快速幂与位运算。
当然这题直接暴力也行,但主要学习快速幂,先给暴力再标程(这个是提交记录里找的一个河南理工学长的代码(学长一直在更改代码提交,等等再研究他在思考什么),看了感觉他的代码长度较短,易懂,运行时间很短,内存占据较少,学长主页:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/profile/287389065)
暴力:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int main(){ 4 long long n,a,b,c,d,e,f,g; 5 cin>>n; 6 while(n--){ 7 cin>>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g; 8 long long x=pow(a,d),y=pow(b,e),z=pow(c,f); 9 if(x+y+z==g)cout<<"Yes"<<endl; 10 else cout<<"No"<<endl; 11 } 12 return 0; 13 }
快速幂:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod=252585; 5 ll qk(ll a,ll b) 6 { 7 ll res=1; 8 while(b) 9 { 10 if(b&1) res=res*a%mod; 11 a=a*a%mod; 12 b>>=1; 13 } 14 return res; 15 } 16 int main() 17 { 18 int t; 19 cin >>t; 20 21 while(t--) 22 { 23 ll a,b,c,d,e,f,g; 24 cin >>a>>b>>c>>d>>e>>f>>g; 25 if(((qk(a,d)+qk(b,e))%mod+qk(c,f))%mod==g%mod) cout <<"Yes"<<endl; 26 else cout <<"No"<<endl; 27 } 28 29 }
位运算:
基本运算符:
‘&’ 实际运用:
(1)判断奇偶
因为二进制中偶数最后一位必定是0,奇数必定是1,所以对对一个数进行&运算等价于%=2
(2)清零
若想对一个存储单元清零,即使其全部二进制位为0,只要找一个二进制数,其中各个位符合一下条件:
原来的数中为1的位,新数中相应位为0。然后使二者进行&运算,即可达到清零目的。
例:
66(10)= 01000010(2)
189(10) = 10111101(2)
则 66&189 = 0
(3)取一个数中某些特定位
若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节,只需要将a与8个1按位与即可。
(4)保留指定位
例如:有一数84,即01010100(84),想把其中从左边算起的第3,4,5,7,8位保留下来,运算如下:
‘ | ’ 实际运用:
更改指定位置为1
例:如果想使一个数a的低4位改为1,则只需要将a与17(8)进行按位或运算即可。
‘ ^ ’实际运用
(1)GCD快速求解
1 int GCD(int a,int b){ 2 while(b^=a^=b^=a%=b); //与a,b大小顺序无关 3 return a; 4 }
(2)使特定位翻转
设有数01111010(2),想使其低4位翻转,即1变0,0变1.可以将其与00001111(2)进行“异或”运算,即:
运算结果的低4位正好是原数低4位的翻转。可见,要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为1即可。
(3)与0相“异或”,保留原值
例如:012^00=012
因为原数中的1与0进行异或运算得1,0^0得0,故保留原数。
(4)交换两个值,不用临时变量
例如:a=3,即 1|1|(2);b=4,即1|0|0(2)。
想将a和b的值互换,可以用以下赋值语句实现:
a=a^b;
b=b^a;
a=a^b;
a=011(2)
(^)b=100(2)
a=111(2)(a^b的结果,a已变成7)
(^)b=100(2)
b=011(2)(b^a的结果,b已变成3)
(^)a=111(2)
a=100(2)(a^b的结果,a已变成4)
--等效于以下两步:
① 执行前两个赋值语句:“a=a^b;”和“b=b^a;”相当于b=b^(a^b);
② 再执行第三个赋值语句: a=a^b。由于a的值等于(a^b),b的值等于(b^a^b),因此,相当于a=a^b^b^a^b,即a的值等于a^a^b^b^b,等于b。
左右移实际运用:
左右移x相当于乘除2的x次(都是在未溢出的情况下),为了更好理解以十进制数为例,12345类似左移为123450相当于乘10,右移则是1234相当于除以10.因为是位运算所以比单纯的乘除要快。
左移1位相当于该数乘以2,左移2位相当于该数乘以2*2=4,15 << 2=60,即乘了4 。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
假设以一个字节(8位)存一个整数,若a为无符号整型变量,则a=64时,左移一位时溢出的是0,而左移2位时,溢出的高位中包含1。
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位,移动的位数由右操作数指定(右操作数必须是非负值),移到右端的低位被舍弃,对于无符号数,高位补0。对于有符号数,某些机器将对左边空出的部分用符号位填补(即“算术移位”),而另 一些机器则对左边空出的部分用0填补(即“逻辑移位”)。
注意:
对无符号数,右移时左边高位移入0;对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移 位;移入1的称为“算术移位”。
例: a的值是八进制数113755,
a:1001011111101101 (用二进制形式表示)
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1,左面移入高位的是1。
MOD运算:
取余与取模还是有区别的,见 https://blog.csdn.net/coder_panyy/article/details/73743722
mod运算,即求余(取模)运算,是在整数运算中求一个整数 x 除以另一个整数y的余数的运算,且不考虑运算的商。在计算机程序设计中都有MOD运算,其格式为: mod(nExp1,nExp2),即是两个数值表达式作除法运算后的余数。
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)
结合律:
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
交换律:
(a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
分配律:
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p (9)
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)
重要定理:
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(11)
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(12)
若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),(a * c) ≡ (b * d) (%p);(13)
a≡b (mod n)表示a与b对模n同余。 “≡”是数论中表示同余的符号。即给定一个正整数n,如果两个整数a和b满足a-b能被n整除,即(a-b)modn=0,那么就称整数a与b对模n同余,记作a≡b(modn),同时可成立amodn=b。 *扩展资料 同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余的主要性质如下: 1、自反性:a≡a(mod m)。 2、对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)。 3、传递性: 若a≡b(mod m),b≡c(mod m), 则a≡c(mod m)。
快速幂:
首先推荐一篇博客,讲的非常透彻 https://blog.csdn.net/qq_19782019/article/details/85621386
所以这里简单搬运和演示
我们在初等数学中已知指数函数图像如下图:
那么在指数X超过某一值时,a^x 的值就开始急剧增长,以 → ∞,所以结果则会超过数据范围,因此我们需要结合MOD运算公式(公式(3)或者公式(4))对计算进行精确。
则此时的核心代码如下:
1 /** 2 * 普通的求幂函数 3 * @param base 底数 4 * @param power 指数 5 * @return 求幂结果的最后3位数表示的整数 6 */ 7 long long normalPower(long long base,long long power){ 8 long long result=1; 9 for(int i=1;i<=power;i++){ 10 result=result*base; 11 result=result%1000; 12 } 13 return result%1000; 14 }
如果直接了当的求解pow(a,n),那么时间复杂度为O(N),既N次循环。
那么快速幂的核心思想就是“遇奇则减,遇偶则方(“开方与平方”)”,如求3^10,则有以下路径:
3^10 = 9^5 //遇偶则方 9^5 = 9^4 * 9^1 //遇奇则减 9^4 = 81^2 81^2 = 6561^0 * 6561^1 那么 3^10 = 6561^0 * 6561^1 * 9^1
原本需要10次的算法,我们通过快速幂4次就算出了结果,由O(N) -> O(log N)
搬运上述博客模拟动图
那么代码将变为:
1 long long fastPower(long long base, long long power) { 2 long long result = 1; 3 while (power > 0) { 4 if (power % 2 == 0) { 5 //如果指数为偶数 6 power = power / 2;//把指数缩小为一半 7 base = base * base % 1000;//底数变大成原来的平方 8 } else { 9 //如果指数为奇数 10 power = power - 1;//把指数减去1,使其变成一个偶数 11 result = result * base % 1000;//此时记得要把指数为奇数时分离出来的底数的一次方收集好 12 power = power / 2;//此时指数为偶数,可以继续执行操作 13 base = base * base % 1000; 14 } 15 } 16 return result; 17 }
将语句简化:
1 long long fastPower(long long base, long long power) { 2 long long result = 1; 3 while (power > 0) { 4 if (power % 2 == 1) { 5 result = result * base % 1000; 6 } 7 power = power / 2; 8 base = (base * base) % 1000; 9 } 10 return result; 11 }
结合位运算:
long long fastPower(long long base, long long power) { long long result = 1; while (power > 0) { if (power & 1) {//此处等价于if(power%2==1) result = result * base % 1000; } power >>= 1;//此处等价于power=power/2 base = (base * base) % 1000; } return result; }
所以得到模板:
1 typedef long long ll; 2 const ll mod=1e9+7; 3 ll fastPower(ll base,ll power) 4 { 5 ll ans=1, res=base; 6 while(power){ 7 if(power&1) ans=ans*res%mod; 8 res=res*res%mod; 9 power>>=1; 10 } 11 return ans%mod; 12 }
扩展递归写法:
注:不建议使用递归写法,容易超内存!
1 typedef long long ll; 2 const ll mod=1e9+7; 3 ll fastPower(ll m,ll n){ 4 if(n==1) return m; 5 int temp=fastPower(m,n>>1); 6 return (n&1? m%mod : 1)*temp*temp%mod; //奇偶在此表现出差异 7 }
来源:https://www.cnblogs.com/baizijianyidi/p/12271686.html