位运算

原码, 反码, 补码 很好的文章，博主证明很详细 1.如果你还在为 计算机中的+0,-0困惑 2.如果你还不理解补码如何演变的 原码, 反码, 补码 详解 原文，有些未更正的错误，比如这个举例有问题： 运用同余数的两个定理: 反身性: a ≡ a (mod m) 这个定理是很显而易见的. 线性运算定理: 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么: (1)a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)a * c ≡ b * d (mod m) 如果想看这个定理的证明, 请看: http://baike.baidu.com/view/79282.htm 所以: 7 ≡ 7 (mod 12) (-2) ≡ 10 (mod 12) 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) 现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等. 应该是： (-5) ≡ 7 (mod 12) (-2) ≡ 10 (mod 12) --> -5 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) -7 ≡ 5 (mod 12) 注：如有问题欢迎大家指正。 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/96193/blog/297503

问题 给出两个幂级数 \(f,g\) ，求 \[h=\sum _i\sum _jx^{i\oplus j}f_ig_j \] 其中 \(\oplus\) 是可拆分的位运算。 算法 由于位运算具有独立性，可以一位位地考虑。 设 \(f=(f_0,f_1)\) ，即最高位为 0 的部分和最高位为 1 的部分。我们希望把这个卷积转化为点积来做。即 \[T\begin{bmatrix}f_0 \\f_1 \end{bmatrix}\cdot T\begin{bmatrix}g_0 \\g_1 \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}h_0 \\h_1 \end{bmatrix} \] 按照 \(f,g,h\) 的对应关系，对比系数容易得到 \(T\) 。 那么我们就可以先对 \(f,g\) 递归进行上述变换，然后再点积起来，逆变换回去，这样就能得到我们需要的 \(h\) 。显然逆变换可以直接用矩阵 \(T^{-1}\) 做同样的操作。 复杂度为 \(O(nk^2\log n)\) ， \(k\) 为位状态数。 拓展 上面的过程只用到了位运算的可拆分性，所以可以尝试拓展一下。例如更高进制的位运算卷积，可以用完全一样的方法来做。做之前只要定义好位的运算即可。例如 [清华集训2016]石家庄的工人阶级队伍比较坚强 中的三进制卷积，类比二进制异或，定义三进制不进位加法

位运算 1).定义. 指的是1个二进制数据的每一位来参与运算. 位运算的前提: 是这个数必须是1个二进制. 注意: a). 参与位运算的二进制数据必须是补码形式. b). 位运算的结果也是二进制的补码形式. 2).按位与: & 参与按位与的两个二进制数.如果都为1 那么结果就为1 只要有1位为0 那么结果就为0. 3 & 2; 第1步骤:先得到两个数的二进制补码形式. 3的补码: 00000000 00000000 00000000 00000011 2的补码: 00000000 00000000 00000000 00000010 ------------------------------------------------------- 00000000 00000000 00000000 00000010 2 -3 & 4; -3的原码:10000000 00000000 00000000 00000011 -3的反码:11111111 11111111 11111111 11111100 -3的补码:11111111 11111111 11111111 11111101 4的补码: 00000000 00000000 00000000 00000100 ------------------------------------------------------

题意很简单，问一个数字n是否是2的几次幂。思路是用位运算做，如果你对位运算很敏感，你会发现，所有2的某次方的数字，转化成二进制之后，都只有一个1。比如 2->0010, 4->0100, 8->1000...... 所以思路是比较n & n-1是否等于0即可。因为如果n是2的某次方，比它小1的数字里面一定是一堆1。 举个例子，16的二进制是10000，15的二进制是01111，两者做AND运算得到0。代码如下， 1 var isPowerOfTwo = function (n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) === 0 ; }; 来源： https://www.cnblogs.com/aaronliu1991/p/11675164.html

枚举值：它是一个整形(int) 并且,它不参加内存的占用和释放 枚举定义变量即可直接使用,不用初始化. 枚举的定义如下: 方式一： typedef enum{ //在这个地方，可以定义相同的名称，给要用到的类型起个标识符，这个地方，是可以省略的 unknown, //大括号里面的内容，依据程序员的需要来填充，使用逗号隔开，最后一个可以不使用符号，默认的序号是从0开始的,最好在标记时给它赋值=0 //如果在中途给它定义了数字，比如unknown=7，则以后的字符的序号依次递增，iPad=8 iPad, iPhone }TYPES;//枚举的名称，并且使用分号来结束 方式二： enum 名称{ 枚举数据表 }; enum type{ }; 补充：2015年07月25日 //---------------------------------------------------------------------------------- 1、枚举的定义写在哪里？ 答：跟在 #import “”后面写，写在类的前面，确保枚举的作用范围 方式三： 1）亦可以如下定义(推荐:结构比较清晰): 格式：typedef NS_ENUM(NSInteger, 名称){}； typedef NS_ENUM(NSInteger, Test1) { //以下是枚举成员 Test1A = 0, Test1B

异或实现加法 int add(int a, int b){ return a & b == 0 ? a ^ b : add(a ^ b, (a & b) << 1); } Single Number 问题描述：数组中有一个元素出现了p次，其他元素均出现了k次，求该元素 解决方法： 正常思路是统计每个元素出现的次数，即可求出该元素，通过位运算，我们可以实现对元素的统计 先令p = p % k，这样我们统计的上限最多为k，需要 \(m = \log \left \lceil k \right \rceil\) 个位来表示，也就是对每个位进行计数。 我们先单单看一位，比如32位整数的第一位1st，对于新来的数，如果新来的数该位为1，则我们需要增加第一位对应的m-counter计数器，当计数器达到k时清空为0，最后的p的二进制表示对应的x即可。 先用一个例子说明一下，如k=5，p=3那么对于32位整数的第一位而言，如果single number的该位为1的话，那么该位对应的计数器必定计数了k * r（r为整数） + p次，由于p=3（二进制11）那么该计数器的第一位和第二位都会被置为1，其他位同理，返回x1或者x2即可 现在的主要问题就为当一个位上的1或0来的时候 如何在计数器上实现加法 如何在计数器计数达到k时清零 对于第一个问题，我们知道只有当前m-1个数全是1的时候，遇到0才会进位，

两个与位运算有关的小问题 在读《编程之美》一书时，书中提到两个小问题： 1.如何求算N!的二进制表示最低位1的位置。 2.如何用最简便最快的方法判断一个正整数是否是2的方幂。 对于第一个问题：对于任何一个整数n，当表示成二进制时，若最低位为1，则该数肯定是奇数，否则为偶数。若是奇数，则n肯定不含质因子2.例如9的二进制形式是1001，最后一位位1，则肯定不含因子2，而12的二进制形式是1100，则肯定含因子2.但是将1100右移2位就变成0011，即将12除以2^2，此时0011为奇数。从这里可以发现一个规律，要求一个数的二进制表示形式最低位1的位置，相当于求算n有多少个因子2。因为假如一个整数表示成二进制是r0r1r2.....rk.....rn，如果rk是最低位为1的位置，那么从r(k+1)到rn都为0，此时将其右移(n-k)位，则rk在最低位，此时该二进制必定不包含因子2，而将二进制右移1位相当于除以2，即求算rk的位置相当于求算因子2的个数。而求算N!中含有2的个数很容易求算。 int location(int n){ int low=0; while(n) { low+=n>>1; n>>=1; } return low;} 对于第二个问题：如果一个整数是2的方幂，即能表示成2^n的形式，则表示成二进制必然是rn.....rk....r1r0，rn为1，其他所有的位都为0

3 月，跳不动了？>>> 使用位运算实现int32位 整数的加减乘除 我觉得比较难想的是加法吧。 首先加法，脑海中脑补二进制加法，相同位相加，超过2 ，则进1，留0 那么用位运算怎么实现呢？其实理解了异或和与操作，就很容易想出来了。 我觉得异或操作和与操作完全就是实现加法的。 异或就是相同位相加最后留下的结果，而与就是相同位相加是否进1的结果。 异或：相同位 相同为0，不同为1。 与：相同位 都是1结果才是1，否则都是0。 这不就是二进制相加吗？ 异或 与 1+1 = 0 进1 1+0 = 1 进0 0+0= 0 进0 所以加法就是，每次先异或一下，然后算出来进位的结果，再左移一位，因为是进位嘛 static int Add ( int x, int y ) { while (y != 0 ) { int z = x; x ^= y; y &= z; y <<= 1 ; } return x; } 减法，就很容易实现了，减一个数等于加上这个数的负数 一个数怎么变成负数呢？取反码然后+1 所以减法就是 static int Sub ( int x, int y) { int z = Add(~y, 1 ); return Add(x, z); } 那么乘法呢，简单的想法是，一个一个想加呗，a* b不就是b个a相加，对不对，想法的是对的，但是我们要利用二进制的思想，也就倍增的思想。

位运算符 位运算符作用于位，并逐位执行操作。&、 | 和 ^ 的真值表如下所示： p q p & q p | q p ^ q 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 假设如果 A = 60，且 B = 13，现在以二进制格式表示，它们如下所示： A = 0011 1100 B = 0000 1101 ----------------- A&B = 0000 1100 A|B = 0011 1101 A^B = 0011 0001 ~A = 1100 0011 << 二进制左移运算符。将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。 A << 2 将得到 240，即为 1111 0000 >> 二进制右移运算符。将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。 A >> 2 将得到 15，即为 0000 1111 来源： https://www.cnblogs.com/nanqiang/p/9988669.html

3 月，跳不动了？>>> 一、位运算 　　 二、位移运算 　　 三、二进制数 　　以Java中最常使用的int类型为例(32位)。 　　 ㈠ 符号位 　　二进制数最左端的数字为符号位： 0代表正，1代表负 。 ㈡ 最大与最小 　　⑴ 1是最小的正整数，符号位为0，最后一位为1，其它全部为0。 　　递增：二进制数右端每次加1(逢2进1),一直到31个非符号位的0全部变为1，得到最大的正整数2147483647。 　　⑵ -1是最大的负整数，符号位为1，其它31位也全部为1。 　　递减：二进制数右端每次减1(逢0借1)，一直到31个非符号位的1全部变成0，得到最小的负整数为-2147483648。 ㈢ 原码、补码、反码 　　⑴ 原码 　　根据数学上的表示习惯：“+”代表为正数，只要将“+”变为“-”，那么就是对应的负数。譬如 +1 对应的负数为 -1。 　　根据这个原则，二进制数的负数表示本来应该如下图： 　　 　　以正数的二进制数表示为基准，负数的表示只改变符号位，这样的表示方式就是 原码 。因此， 正数的表示方式都是原码。 　　事实上的二进制的负数并不是如上面的原码这样表示，譬如-1是32个1。那么这样的表示方式是如何得到的呢？ 　　⑵ 反码 　　反码就是将原码除符号位以外的值全部取反，原来是1的变为0，原来是0的变为1。例如使用-1的原码得到的反码如下图所示： 　　 　　⑶ 补码