Gram 矩阵
假设 A 是一个 m×n 阶矩阵,
- 列向量 Gram 矩阵
A 由列向量 αi 表示, 即
A=[α1α2⋯αn]
则
G=ATA=⎣⎢⎢⎢⎡α1Tα2T⋮αnT⎦⎥⎥⎥⎤[α1α2⋯αn]=⎣⎢⎢⎢⎡α1Tα1α2Tα1⋮αnTα1α1Tα2α2Tα2⋮αnTα2⋯⋯⋯α1Tαnα2Tαn⋮αnTαn⎦⎥⎥⎥⎤
- 行向量 Gram 矩阵
A 由行向量 βiT 表示, 即
A=⎣⎢⎢⎢⎡β1Tβ2T⋮βmT⎦⎥⎥⎥⎤
则
G=AAT=⎣⎢⎢⎢⎡β1Tβ2T⋮βmT⎦⎥⎥⎥⎤[β1β2⋯βm]=⎣⎢⎢⎢⎡β1Tβ1β2Tβ1⋮βmTβ1β1Tβ2β2Tβ2⋮βmTβ2⋯⋯⋯β1Tβmβ2Tβm⋮βmTβm⎦⎥⎥⎥⎤
6 大性质
下面只考虑列向量 Gram 矩阵
(1) G=ATA 是对称矩阵
GT=(ATA)T=ATA=G
(2) 对于实矩阵 A rank(ATA)=rank(A)
证明 {Ax=0ATAx=0 同解即可.
证明过程详见经典例题(第3小问)
(3) 若 ATA=0, 则 A=0
由上面性质
rank(ATA)=rank(A)=rank (0)=0
(4) 对于实矩阵 A, 则 ATA 是半正定矩阵
xTATAx=(Ax)TAx≥0
(5) 对于任意 n 阶实对称半正定矩阵 M, 存在矩阵 A 使得 M=ATA 成立.
因为矩阵 M 实对称, 所以 M 可以正交对角化
, 即M=QΛQT 又因为矩阵 M 半正定, 所以其特征值 $\lambda_i \geq 0 $, 所以可记 Λ1/2=diag(λ1,…,λn) 且 KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 29: …2}Q^\{\mathsf T}̲ 则可得
M=QΛQT=(Λ1/2QT)TΛ1/2QT=ATA
(6) 若 A=[α1α2⋯αn] 列满秩, 则 ATA 正定
- 由性质 (2), 知 rank(ATA)=rank(A)=n
- 因为 Ax=0 只有零解, 结合性质 (4), 对于非零 x∈Rn
xTATAx=(Ax)TAx>0
原文链接
[1] matnoble.me/posts/gram
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