乘法逆元(模板)

≡放荡痞女 提交于 2020-02-05 11:35:15

乘法逆元定义:

 

 b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质 原因:b * x ≡ 1 (mod m) 如果b和m不互质,则 b * x肯定是m的倍数,b * x%m=0

 所以b%m==0 ,b不存在乘法逆元

1.当n为质数时,可以用快速幂求逆元:

  a / b(整除) ≡ a * x (mod m)

  两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod m) -> 1 ≡ b * x (mod m)

  同 b * x ≡ 1 (mod m)

  由费马小定理可知,当m为质数时:  b ^ (m - 1) ≡ 1 (mod m)

       拆一个b出来可得 b * b ^ (m - 2) ≡ 1 (mod m)

     所以当n为质数时,b的乘法逆元 x = b ^ (m - 2)%m

求a的乘法逆元:

import java.util.*;

public class Main{
        static long quick_pow(long a,long b,long c){
                long res=1;
                while(b>0){
                        if((b&1)==1) res=res*a%c;
                        a=a*a%c;
                        b>>=1;
                }
                return res;
        }
        public static void main(String[] args) {
                Scanner scan=new Scanner(System.in);
                int t=scan.nextInt();
                while(t-->0){
                        long a=scan.nextLong();
                        long p=scan.nextLong();
                        if(a%p!=0) System.out.println(quick_pow(a,p-2,p));
                        else System.out.println("impossible");
                }
        }
}

 

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