非线性规划，图与网络

非线性规划，图与网络

• 非线性规划
• 图形化界面解法
• 图与网络流

非线性规划

  下面只针对MATLAB解法做出介绍。在MATLAB中非线性规划的标准型为
$min \quad f(x)$ $s.t\quad Ax\leq B$ $A_{eq}x \leq B_{eq}$ $C \cdot x \leq0$ $C_{eq}\cdot x\leq 0$非线性约束要单独成立一个函数文件。例如:

function [c ceq]=nonlcon(x)
%body
end

*fmincon( )函数所求最小值均为参数$x_0$附近的局部最小值。对于无约束优化可使用fminunc( )可求得$x_0$附近的局部无约束最小值。对于带约束的优化过程中可返回函数的梯度来提高准确的程度。对于目标函数为二次型的规划，可以使用quadprog( )*进行二次规划。

图形化界面解法

直接调用优化工具箱中的optimtool命令进行图形化操作，但是在未来的版本中优化工具箱可能被移除。

图与网络流

1. 最短路径算法：
   参考dijkstra.m 、Floyd.m文件。
2. 最小生成树算法：
   参考prime.m、kruskal.m文件。
3. TSP问题-改良圈算法：
   该算法效果一般也只能求得近似解，可参考网上其他优秀算法。main_TSP.m
4. 最大流问题；
   有两种选择：
   第一种：直接利用线性规划将所有边标号，对每一个非源 且非 汇点加入约束，在此之前图必须为单源 单 汇,若非如此，可增加一个虚拟 源$v_s$并增加流$v_s-s_1,v_s-s_2,v_s-s_3,v_s-s_{...}$同理增加一个虚拟汇$v_t$。最大流线性规划模型为：$max \quad \sum_iv_{s-i}$ $s.t\sum_{j:(i,j)\in A}f_{ij}-\sum_{j:(i,j)\in A}f_{ji}=0$ $0\leq f_{ij}\leq u_{ij}\quad \forall (i,j)\in A$已证明最大流问题的系数矩阵为完全幺模矩阵，其最优解为整数解。
   第二种：直接调用MATLAB函数graphmaxflow( ) 注意输入的图需要用函数 sparse()转化为稀疏矩阵。
5. 最小费用流：
   在求得的最大流的前提下，再次进行线性规划，其数学形式为：$min\quad \sum c_{ij}f_{ij}$ $s.t \sum_{j:(i,j)\in A}f_{ij}-\sum_{j:(i,j)\in A}f_{ji}=0$ $\sum_i f_{s-i}=Maxflow$ $0\leq f_{ij}\leq u_{ij}\quad \forall (i,j)\in A$
6. 关键路径算法：
   可采用线性规划求解，设$x_i$表示时间i发生的时间其数学形式为：$min \quad x_n-x_1$ $s.t\quad x_j\geq x_i+t_{ij} ,(i,j)\in A,(i,j)\in V$ $x_i\geq0$可加入松弛因子$s_{ij}=x_j-x_i+t_{ij}$把不等式全部转化为等式也计算了每个活动的时间余量。注意：需要加入0虚构工作来表示事件的先后顺序。
   最长路径的数学模型为：$max\quad \sum t_{ij}x_{ij}，x_{ij}为二进制变量$ $s.t\quad \sum_{j:(i,j)\in A}x_{ij}-\sum_{j:(i,j)\in A}x_{ji}= \begin{cases} 1 & v_i为源\\ -1 & v_i为汇\\ 0 & others \end{cases}$
7. 计划网络优化：
   设$x_i$为事件的开始事件$y_{ij}$是活动的可能减少时间，$t_{ij}$是活动的计划时间，$m_{ij}$是活动的最短完成时间，$d$为要求完成天数$c_{ij}$为减少$(i,j)$活动单位时间所付出的代价,规划模型为：$min \quad \sum c_{ij}y_{ij}$ $s.t \quad x_j-x_i\geq t_{ij}-y_{ij}, (i,j)\in V,(i,j)\in A$ $x_n-x_1\leq d$ $x_i\geq 0, \quad 0\leq y_{ij}\leq t_{ij}-m_{ij}$

来源：CSDN

作者：Aurorass

链接：https://blog.csdn.net/Aurorass/article/details/104173669