差分约束

差分约束

hhh，这几天病毒感染，真的不敢乱溜达，干脆狂写blog算了，hhh

一般形式

差分约束题一般是给出大量的一些不等式
$a_i-b_i\leq x \rightarrow a_i\leq x + b_i$
由上面这个不等式我们应该可以联想到最短路的不等式
$dis[u]\leq dis[v] + x(u \rightarrow v)$
因此，我们可以将差分约束化成一个最短路来求，我们的$dis[u]$保存由远点到$u$的可以选择的最大范围!
为什么是最大范围？
我们每一次选择的是$min(u \rightarrow v)$，那么一开始我们就会选择一个从原点$s$出发的最小范围，且没有其他路径会使她变得更小(三角形)，那么这个由原点出发的长度将会是$s \rightarrow u$的范围，选择最大的话，就是这个范围啦。

求最长路

当求最大的范围时是最短路，已经说过了，但是如果求最小范围呢？
看一下基本形式
$a_i-b_i\geq x \rightarrow a_i \geq x + b_i$
这个又是什么意思呢？试着把$a_i，b_i$也当作两个点，那么这就是
$dis[a_i]\geq dis[b_i] + x$
也就是最长路的样子啦

最长路

实现最长路的办法，我们试着用最短路的办法去试

1. floyd $O(n^3)$很明显暴力枚举下面肯定是可以的，但是复杂度实在太高，放弃
2. dijstra基于贪心的算法，我们最长路的贪心是做不到的，从三角形来看是很明显的，遂继续放弃
3. bellman_ford差不多就是暴力对所有的边进行n-1次遍历了一条最长路最多经过$n-1$次松弛，在这里最长路也是这样啊，时间复杂度的话，我们可以考虑已经死了的 spfa呀，死了不要紧我们可以优化

spfa玄学优化

1. 双端队列优化，一个非常常见的优化，当边权小于队首时从队首加入，否则队尾！
2. 双端慢了？没事我们可以数组模拟，强行加速！
3. 啊，还是tle？淡定加容错优化，我们首先把所有边权加起来开个根号后加上一个容错值$x$然后当当前边权小于队首边权加上容错时从队首加入，否则队尾，继续强行加速！
4. 听说还是tle？emmm，等死吧

来源：CSDN

作者：为秃头而生

链接：https://blog.csdn.net/qq_42937891/article/details/104147393