最长公共子序列（LCS）

今天也是为了cc，努力奋斗的一天ヾ(≧▽≦*)o

目录

• 问题描述
• 暴力解决方案
• 动态规划解决方案
• 步骤1——数据结构定义
• 步骤2——状态转移方程
• 代码

问题描述

暴力解决方案

动态规划解决方案

我自己的想法是可以将LIS的思想直接用到LCS中，其中短的序列定义优先级，长的序列使用这个优先级寻找LIS。ヾ(≧▽≦*)o

步骤1——数据结构定义

令dp[i][j]表示字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS长度（下标从1开始），如dp[4][5]表示“sads”与“admin”的LCS长度。那么可以根据A[i]和B[j]的情况，分为两种决策：

1. 若A[i] == B[j]，则字符串A与字符串B的LCS增加了1位，即有dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1。
   例如，样例中dp[4][6]表示“sads”与“admins”的LCS长度，比较A[4]与B[6]，发现两者都是‘s’，因此dp[4][6]就等于dp[3][5]加1，即为3。
2. 若A[i] != B[j]，则字符串A的i号位和字符串B的j号位之前的LCS无法延长，因此dp[i][j]就将继承dp[i-1][j]与dp[i][j-1]中的较大值，即有dp[i][j] = max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]}。
   例如，样例中dp[3][3]表示“sad”与“adm”的LCS长度，我们比较A[3]与B[3]，发现’d’不等于’m’，这样dp[3][3]无法在原先的基础上延长，因此继承自“sa”与“adm”的LCS、“sad”与“ad”的LCS中的较大值，即“sad”与“ad”的LCS长度——2.

步骤2——状态转移方程

边界：dp[i][0] = dp[0][j] = 0(0≤i≤n，0≤j≤m)
这样状态dp[i][j]只与其之前的状态有关，由边界出发就可以得到整个dp数组，最终dp[n][m]就是需要的答案，时间复杂度为 $O(nm)$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100;
char A[N],B[N];
int dp[N][N];

int main(){
	int n;
	gets(A+1);	//从下标为1开始读入 
	gets(B+1); 
	
	int lenA = strlen(A+1);	//由于读入下标从1开始，因此读取长度也从+1开始
	int lenB = strlen(B+1);
	
	//边界
	for(int i=0;i<=lenA;i++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	for(int j=0;j<=lenB;j++){
		dp[0][j] = 0;
	}
	//状态转移方程
	for(int i=1;i<=lenA;i++){
		for(int j=1;j<=lenB;j++){
			if(A[i] == B[j]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
			}else{
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			}
		}
	}
	//dp[lenA][lenB]是答案
	printf("%d\n",dp[lenA][lenB]); 
	return 0;
} 

来源：CSDN

作者：yc_cy1999

链接：https://blog.csdn.net/yc_cy1999/article/details/104132622