排队论简介

历史

排队论又称随机服务系统，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，是运筹学的一个分支。
排队论的基本思想是 1909 年丹麦数学家 A.K. 埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。
现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车排队通过收费站、机器等待修理等都属于排队论问题。

定义

通过对服务对象到来及服务时间的统计研究
得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短（决定服务台数量）等）的统计规律，
然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象
使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。

应用

CUMCM 2009B 的眼科病床的合理安排问题
MCM 2005B 收费站最佳配置问题
ICM 2017D 机场安检问题

模型与模拟

排队论基本构成与指标

排队论的基本构成

输入过程：描述顾客按照怎样的规律到达排队系统。顾客总体（有限/无限）、到达的类型（单个/成批）、到达时间间隔。
排队规则：指顾客按怎样的规定次序接受服务。常见的有等待制、损失制、混合制、闭合制。
服务机构：服务台的数量; 服务时间服从的分布

排队系统的数量指标

队长：系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。
等待队长：系统中处于等待的顾客的数量。
等待时间：等待时间包括顾客的平均逗留时间。
忙期：连续保持服务的时长。

数学表示

排队论中的符号表示

$$
{A/B/C/n}
$$

A 输入过程，B 服务时间，C 服务台数，n 系统容量。

排队论表示实例　M/M/S/∞

输入过程是 Poisson 流（顾客到达的时间服从泊松分布，到达的时间间隔便服从负指数分布）
服务时间服从负指数分布
系统有 S 个服务台平行服务
系统容量为无穷大的等待制排队系统

等待制模型 M/M/S/∞ S=1

单位时间内到达的人数为λ,所以[0,t] 时间内到达的顾客平均数为 λt

µ代表单位时间服务人的个数
判断模型是否稳定，一般用比较λ和µ的大小（下图的系统服务强度）

$(1-\rho)\sum_{n=0}^{\infty}n\rho^{n}$,当$\rho$<1时候级数收敛

平均等待队长比平均队长少一人，因为一人在接受服务。

平均等待时间=逗留的时间-服务的时间

Little公式是根据前面推导出来。

实例

λ/µ=8/9<1,系统是稳定的。

平均等待7.1个人

等待制模型 M/M/S/∞ S>1(服务台数量>1)

k=[0:s-1]

实例

案例

来访人员按照 Poisson 流到达，到达速率为 µ = 20 人/小时。
接待人员的服务速率间服 λ = 9 人/小时的负指数分布。
为使来访问者等待不超过半小时，最少应配置几名接待员？

lambda = 20; mu = 9; s = 3;
rho = lambda/(s*mu); %服务强度
k=(0:s-1);
p0 = 1./( sum((s*rho).^k./factorial(k)) + ... 
     (s*rho)^s/(factorial(s)*(1-rho)) ); %服务台空闲的概率
Ls = s*rho + (s*rho)^s*rho/(factorial(s)*(1-rho)^2)*p0; %平均长度
Ws = Ls/lambda; %平均逗留时间
Wq = Ws - 1/mu%平均等待时间

其他模型

混合制：

系统容量K为队长，理发店的的凳子数（等待凳子和服务凳子）

闭合制：

工厂的工人，使用的机器。

单服务台

做模拟：

开始服务, 到达, 离开时刻和服务, 等待时长的关系

服务时刻(i) = max{到达时刻(i),离开时刻(i−1)}
离开时刻(i) = 服务时刻(i) + 服务时长(i)
等待时长(i) = 离开时刻(i)−到达时刻(i)

多服务台

开始服务, 到达, 离开时刻和服务, 等待时长的关系

服务时刻(i) = max{到达时刻(i),min{服务台空闲时刻}} （假设所有顾客目的尽早的接受服务）
所使用服务台(i) = k, 其中 k 使服务台空闲时刻(k) = min
离开时刻(i) = 服务时刻(i) + 服务时长(i)
服务台空闲时刻(k) = 离开时刻(i)
等待时长(i) = 离开时刻(i)−到达时刻(i)（包括服务时间）

自动取款机问题

问题

银行计划安置取款机, A 机价格和平均服务率都是 B 机的 2 倍. 应购置 1 台 A 机还是 2 台 B 机?
顾客平均每分钟到达 1 位，A 型机的平均服务时间为 0.9, B 型机为 1.8 分钟, 顾客到达间隔和服务时间都服从指数分布.

单服务台

属于M/M/1/∞ 模型

n = 100000; % 模拟顾客总数 
mu = 1; muA = 0.9; % 到达率和服务率 
tarr = cumsum(exprnd(mu,1,n));% 到达时刻 ，exprnd生成指数分布（到达的时间间隔）
tsrv = exprnd(muA,1,n); % 服务时长 
tsta = zeros(1,n); % 初始化服务时刻 
tlea = zeros(1,n);% 初始化离开时刻 
twat = zeros(1,n); % 初始化等待时长 
tsta(1) = tarr(1);% 首位顾客服务时刻=到达时刻 
tlea(1) = tsta(1) + tsrv(1); % 首位顾客离开时刻 
twtime(1) = tlea(1) - tarr(1); % 首位顾客等待时长=0 
% 上面初始化第一个顾客
for i = 2:n
     % 服务时刻 = max{到达时刻, 上一个顾客离开时刻} 
    tsta(i) = max(tarr(i),tlea(i-1));
    tlea(i) = tsta(i) + tsrv(i);% 离开时刻=服务时刻+服务时长 
    twat(i) = tlea(i) - tarr(i);;% 等待时长=离开时刻-到达时刻 
end
hist(twat)
sum(twat)/n

两服务台(多个服务台)

n = 100000;  % 模拟顾客总数 
mu = 1; muB = 1.8; % 到达率和服务率 
tarr = cumsum(exprnd(mu,1,n)); % 到达时刻 
tsrv = exprnd(muB,1,n);% 服务时长 
tsta = zeros(1,n);% 初始化服务/离开时刻 
tlea = zeros(1,n); % 初始化等待时长 
twat = zeros(1,n);% 初始化服务台结束服务时刻 
last = [0 0];%几个服务台几个0
for i = 2:n
    [minemp, k] = min(last); % 找出最快结束服务的服务台时刻 
    tsta(i) = max(tarr(i),minemp);% 服务时刻 
    tlea(i) = tsta(i) + tsrv(i); % 离开时刻
    last(k) = tlea(i); % 服务台结束服务时刻 
    twat(i) = tlea(i) - tarr(i);% 等待时长 
end
hist(twat)
sum(twat)/n

真题

2013HIMCM-B: 银行服务问题

分析

如何生成序列来满足题意概率分布呢？

举一个例子，由时间间隔 t = [0 1 2] 和概率 p = [0.2 0.3 0.5] 得到各到顾客达时间间隔。

先把概率p倒过来求前缀和
$$
p′ = cumsum([0.5,0.3,0.2]) = [0.5,0.8,1.0]
$$
我们生成随机数x，则x<=0.5的概率为0.5，0.5<x<=0.8的概率为0.3，0.8<x<=1.0的概率为0.2
$$
R = rand(1,5) = [0.1,0.9,0.2,0.4,0.8];
$$
替换随机序列的数

把随机序列R<0.5的数换成2……

$$
R(R < 0.5) = 2, R(R < 0.8) = 1, R(p < 1.0) = 0
$$

由到达时间间隔得到各顾客到达时刻
$$
间隔 = [0,1,3,2] ⇒ 时刻 = cumsum(间隔) = [0,1,4,6]
$$

开始服务, 到达, 离开时刻和服务, 等待时间的关系:

开始服务的时刻(i) = max{到达时刻(i),离开时刻 (i-1)}
离开时刻(i) = 开始服务的时刻(i) + 服务时间(i)
等待时间(i) = 离开时刻(i)−到达时刻(i)−服务时间(i)（不是逗留时刻

代码

%计算 Tarrival到达时刻, Tservice服务时间
n = 150; 
ta = [5 4 3 2 1 0]; 
pa = [0.05 0.25 0.35 0.10 0.15 0.10]; 
ts = [ 4 3 2 1 ]; 
ps = [ 0.15 0.40 0.20 0.25 ]; 
pacum = cumsum(pa);%递增
pscum = cumsum(ps); 
Tarrival = rand(1,n); 
for i = 1:length(pa) 
    Tarrival(Tarrival<pacum(i)) = ta(i); 
end

Tarrival = cumsum(Tarrival);%累加才得到到达时刻 
Tservice = rand(1,n); 
for i = 1:length(ps) 
    Tservice(Tservice<pscum(i)) = ts(i); 
end


Tstart = zeros(1,n); %开始服务的时刻
Tleave = zeros(1,n); %离开的时刻
Twait = zeros(1,n);  %等待的时长
line = zeros(1,n);   %队长

%初始化第一位顾客
Tstart(1) = Tarrival(1); 
Tleave(1) = Tstart(1) + Tservice(1); 
Twait(1) = Tleave(1) - Tarrival(1) - Tservice(1); 
line(1) = 0; 

for i = 2:n 
    Tstart(i) = max(Tleave(i-1), Tarrival(i)); 
    Tleave(i) = Tstart(i) + Tservice(i); 
    Twait(i) = Tleave(i) - Tarrival(i) - Tservice(i); 
    
    %队长的计算，一直找到前面的人离开了
    k = i-1;
    while ( k>0 )&&( Tarrival(i)<Tleave(k) )  
        line(i) = line(i) + 1; 
        k = k - 1; 
    end
end
subplot(1,2,1)
hist(Twait)
line
subplot(1,2,2)
hist(line)

因为随机数，所以可以多算几次，取平均值。

ICM2017-D: 优化机场安检口旅客通行

问题

建立一个或多个模型，研究旅客通过安检口的流量，确定瓶颈，明确判断当前流程问题区域位置。
设计两个或更多对现有系统德潜在改进，提高旅客通信，减少等待时间。模拟这些变化展示改进如何影响流程。

排队系统: µr = 10, µb = 13, µ1 = 12, µ2 = 9, µ3 = 16

多服务并联

function [tlea, twat, qlen] = mms(tarr, type, mus)
% MMS Stochastic simulation for M/M/c queue
%
% [tlea, twat, qlen] = mms(tarr, type, mus)
%     tarr ：每一个顾客到达的时间
%     type ：客户类型参数
%     mus  ：服务台的服务速度
%     tlea ：服务台的离开时间
%     twat ：服务台的等待时间
%     qlen ：客户的队列长度（排队的长度） 

narr = length(tarr);        % 客户的个数
nsvr = length(mus);         % 服务台的数量

% last time at which a customer left a particular server
last = zeros(nsvr,1);

[tsta, tlea, twat, qlen] = deal(zeros(narr,1));

rndm = zeros(nsvr,narr);    % rndm(k,i) = 第i个客户的服务时间
for k = 1:nsvr; 
    rndm(k,:) = exprnd(mus(k)*type); %生成服从指数分布的随机数
end

for i = 1:narr
    % find booth service was/will be emptied soonest and record
    [minemp, ksvr(i)] = min(last); 
    
    % start time = max{arrival time, minemp}
    tsta(i) = max(tarr(i), minemp); 
    
    % severe time = exponential random number with mean parameter mu
    tsvr(i) = rndm(ksvr(i),i);
    
    % leaving time = start time + service time
    tlea(i) = tsta(i) + tsvr(i);
    
    % last time of k-th server = leaving time of i-th customer 
    last(ksvr(i)) = tlea(i);
    
    % waiting time = leaving time - arrival time
    twat(i) = tlea(i) - tarr(i);
    
    % queue length for i customer
    j = i - 1;
    while j>0 && tarr(i)<tlea(j)
        if ksvr(j)==ksvr(i); qlen(i) = qlen(i) + 1; end
        j = j - 1;
    end
end

分别求出A区域两个队列（红色和绿色队列）的离开的时刻，作为下一阶段服务台到达的时刻。

具体使用看下面主程序。

串并混合系统

µr = 10, µb = 13, µ1 = 12, µ2 = 9, µ3 = 16

n1 = 2;  n2 = 3; n3 = 3;% ni表示第i个服务台的数量
mu1 = 12; mu2 = 9; mu3 = 16;% 服务台的到达率
muR = 10; muB = 13;% 蓝色与红色服务台的服务率

nR = ceil(24*3600/muR); nB = ceil(24*3600/muB);% 服务的人数
tArrR = cumsum(exprnd(muR,nR,1));
tArrB = cumsum(exprnd(muB,nB,1)); %到达时刻
tArr = [tArrR; tArrB];
type = [0.8*ones(nR,1); 1.2*ones(nB,1)];%区分两种服务的时长
%A区域
[tLeaR, tWatR, qLenR] = mms(tArrR, ones(nR,1), mu1*ones(n1,1));
[tLeaB, tWatB, qLenB] = mms(tArrB, ones(nB,1), mu2*ones(n2,1));


[tArrG, order] = sort([tLeaR; tLeaB]);%输出为离开A区域的时间，排序进入下一区域
%order数组为排序后的数组在原始数组的位置，保存原来的顺序
%下一区域
[tLeaG, tWatG, qLenG] = mms(tArrG, type(order), mu3*ones(n3,1));
tLeaG(order) = tLeaG;
tWatG(order) = tWatG;
qLenG(order) = qLenG;


figure('position',[50,50,1200,600])
subplot(2,3,1); hist(qLenR); ylabel('Frequency'); 
xlabel('length of the waiting line'); title('Red')
subplot(2,3,4); hist(tWatR); ylabel('Frequency'); 
xlabel('waiting time'); title('Red')


subplot(2,3,2); hist(qLenB); ylabel('Frequency');
xlabel('length of the waiting line'); title('Blue')
subplot(2,3,5); hist(tWatB); ylabel('Frequency'); 
xlabel('waiting time'); title('Blue')

subplot(2,3,3); hist(qLenG); ylabel('Frequency');
xlabel('length of the waiting line'); title('Green')
subplot(2,3,6); hist(tWatG); ylabel('Frequency'); 
xlabel('waiting time'); title('Green')

来源：https://www.cnblogs.com/pxlsdz/p/12244708.html

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排队论的基本构成

排队系统的数量指标

数学表示

排队论中的符号表示

排队论表示实例 M/M/S/∞

等待制模型 M/M/S/∞ S=1

实例

等待制模型 M/M/S/∞ S>1(服务台数量>1)

实例

其他模型

单服务台

多服务台

自动取款机问题

单服务台

两服务台(多个服务台)

真题

2013HIMCM-B: 银行服务问题

分析

代码

ICM2017-D: 优化机场安检口旅客通行

多服务并联

串并混合系统

排队论表示实例　M/M/S/∞