排队论

排队论简介 历史 排队论又称随机服务系统，是研究系统随机聚散现象和随机 服务系统工作过程的数学理论和方法，是运筹学的一个分支。 排队论的基本思想是 1909 年丹麦数学家 A.K. 埃尔朗在解 决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。 现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路 上汽车排队通过收费站、机器等待修理等都属于排队论问题。 定义 通过对服务对象到来及服务时间的统计研究 得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短（决定 服务台数量 ）等）的 统计规律， 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务 对象 使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用 最经济或某些指标最优。 应用 CUMCM 2009B 的眼科病床的合理安排问题 MCM 2005B 收费站最佳配置问题 ICM 2017D 机场安检问题 模型与模拟 排队论基本构成与指标 排队论的基本构成 输入过程：描述顾客按照怎样的规律到达排队系统。顾客总 体（有限/无限）、到达的类型（单个/成批）、到达时间间隔。 排队规则：指顾客按怎样的规定次序接受服务。常见的有等 待制、损失制、混合制、闭合制。 服务机构：服务台的数量; 服务时间服从的分布 排队系统的数量指标 队长：系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。 等待队长：系统中处于等待的顾客的数量。 等待时间

原文：排队论模型 （一）基本概念 一、排队过程的一般表示 凡是要求服务的对象称为顾客，凡是为顾客服务的称为服务员 二、排队系统的组成和特征 主要由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成 三、排队模型的符号表示 1、X：表示顾客到达流或顾客到达间隔时间分布 2、Y：服务时间分布 3、Z：服务台数目 4、A：系统容量限制 5、B：顾客源数目 6、C：服务规则 FCFS先到先服务 LCFS后到先服务 各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是 为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时服从自由度为 2k的χ2分布。 例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。 D/M/C表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。 至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。 M/M/1排队模型 •到达时间泊松过程（Poisson process）； •服务时间是指数分布（exponentially distributed）； •只有一部服务器（server），遵循先到先服务规则 •队列长度无限制 •可加入队列的人数为无限 四、排队系统的运行指标 1、平均队长：指系统内顾客数

步骤： （1）确定问题是否属于排队论领域 （2）确定修理工个数s （3）确定机器源数m （4）找到时间终止点T （5）带入模型即可 function out = MMSmteam ( s , m , mu1 , mu2 , T ) % M / M / S / m排队模型 % s——修理工个数 % m——机器源数 % T——时间终止点 % mu1——机器离开 - 到达时间服从指数分布 % mu2——修理时间服从指数分布 % 事件表： % p_s——修理工空闲概率 % arrive_time——机器到达事件 % leave_time——机器离开事件 % mintime——事件表中的最近事件 % current_time——当前时间 % L——队长 % tt——时间序列 % LL——队长序列 % c——机器到达时间序列 % b——修理开始时间序列 % e——机器离开时间序列 % a_count——到达机器数 % b_count——修理机器数 % e_count——损失机器数 % 初始化 arrive_time = exprnd ( mu1 , 1 , m ) ; arrive_time = sort ( arrive_time ) ; leave_time = [ ] ; current_time = 0 ; L = 0 ; LL = [ L ] ; tt = [ current