树与二叉树

戏子无情 提交于 2020-01-30 11:11:20

有许多逻辑关系并不是简单的线性关系,在实际场景中,常常存在着一对多,甚至是多对多的情况。其中树和图就是典型的非线性数据结构,我们首先讲一讲树的知识。

什么是树呢?在现实生活中有很多体现树的逻辑的例子。例如你家的“家谱”,就是一个“树”。再如企业里的职级关系,也是一个“树”。

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除人与人之间的关系之外,许多抽象的东西也可以成为一个“树”,如一本书的目录。
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以上这些例子有什么共同点呢?为什么可以称它们为“树”呢?因为它们都像自然界中的树一样,从同一个“根”衍生出许多“枝干”,再从每一个“枝干”衍生出许多更小的“枝干”,最后衍生出更多的“叶子”。
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树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

  • 每个节点有零个或多个子节点;
  • 没有父节点的节点称为根节点;
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点;
  • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

下面这张图,就是一个标准的树结构。
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在上图中,节点1是根节点(root);节点5、6、7、8是树的末端,没有“孩子”,被称为叶子节点(leaf)。图中的虚线部分,是根节点1的其中一个子树。

同时,树的结构从根节点到叶子节点,分为不同的层级。从一个节点的角度来看,它的上下级和同级节点关系如下。
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在上图中,节点4的上一级节点,是节点4的父节点(parent);从节点4衍生出来的节点,是节点4的孩子节点(child);和节点4同级,由同一个父节点衍生出来的节点,是节点4的兄弟节点(sibling)。

树的最大层级数,被称为树的高度或深度。显然,上图这个树的高度是4。

树的术语

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
  • 叶节点或终端节点:度为零的节点;
  • 父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次;
  • 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙;
  • 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的种类

  • | 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;
  • | 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
    • || 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
      • ||| 完全二又树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树,其中满二又树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
      • ||| 平衡二又树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
      • ||| 排序二又树(二又查找树(英语:Binary Search Tree),也称二又搜索树、有序二叉树);
    • || 霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二又树称为哈夫曼树或最优二叉树;
    • || B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二又查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。

树的存储与表示

顺序存储:将数据结构存储在固定的数组中,然在遍历速度上有一定的优势,但因所占空间比较大,是非主流二叉树。二又树通常以链式存储。
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链式存储:
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由于对节点的个数无法掌握,常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理,子节点个数最多为2

常见的一些树的应用场景

  1. xml,html等,那么编写这些东西的解析器的时候,不可避免用到树
  2. 路由协议就是使用了树的算法
  3. mysql数据库索引
  4. 文件系统的目录结构
  5. 所以很多经典的Al算法其实都是树搜索,此外机器学习中的decision tree也是树结构

二叉树

二叉树(binary tree)是树的一种特殊形式。二叉,顾名思义,这种树的每个节点最多有2个孩子节点。注意,这里是最多有2个,也可能只有1个,或者没有孩子节点。

二叉树的结构如图所示。
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二叉树节点的两个孩子节点,一个被称为左孩子(left child),一个被称为右孩子(right child)。这两个孩子节点的顺序是固定的,就像人的左手就是左手,右手就是右手,不能够颠倒或混淆。

此外,二叉树还有两种特殊形式,一个叫作满二叉树,另一个叫作完全二叉树。

一个二叉树的所有非叶子节点都存在左右孩子,并且所有叶子节点都在同一层级上,那么这个树就是满二叉树。
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简单点说,满二叉树的每一个分支都是满的。

什么又是完全二叉树呢?完全二叉树的定义很有意思。

对一个有n个节点的二叉树,按层级顺序编号,则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同,则这个二叉树为完全二叉树。
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在上图中,二叉树编号从1到12的12个节点,和前面满二叉树编号从1到12的节点位置完全对应。因此这个树是完全二叉树。

完全二叉树的条件没有满二叉树那么苛刻:满二叉树要求所有分支都是满的;而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可。

二叉树可以用哪些物理存储结构来表达呢?

  1. 链式存储结构
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    链式存储是二叉树最直观的存储方式。

上一次讲过链表,链表是一对一的存储方式,每一个链表节点拥有data变量和一个指向下一节点的next指针。

而二叉树稍微复杂一些,一个节点最多可以指向左右两个孩子节点,所以二叉树的每一个节点包含3部分。

  • 存储数据的data变量
  • 指向左孩子的left指针
  • 指向右孩子的right指针
  1. 数组
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    使用数组存储时,会按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的左孩子或右孩子空缺,则数组的相应位置也空出来。

为什么这样设计呢?因为这样可以更方便地在数组中定位二叉树的孩子节点和父节点。

假设一个父节点的下标是parent,那么它的左孩子节点下标就是2×parent +1;右孩子节点下标就是2×parent + 2。

反过来,假设一个左孩子节点的下标是leftChild,那么它的父节点下标就是(leftChild-1)/ 2。

假如节点4在数组中的下标是3,节点4是节点2的左孩子,节点2的下标可以直接通过计算得出。
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显然,对于一个稀疏的二叉树来说,用数组表示法是非常浪费空间的。

什么样的二叉树最适合用数组表示呢?我们后面即将学到的二叉堆,一种特殊的完全二叉树,就是用数组来存储的。

用队列实现二叉树

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item
        self.left_child = None
        self.right_child = None

class Tree(object):
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue :
            cur_node =queue.pop(0)
            if cur_node.left_child is None:
                cur_node.left_child = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.left_child)
            if cur_node.right_child is None:
                cur_node.right_child = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.right_child)

二叉树的遍历

在计算机程序中,遍历本身是一个线性操作。所以遍历同样具有线性结构的数组或链表,是一件轻而易举的事情。
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反观二叉树,是典型的非线性数据结构,遍历时需要把非线性关联的节点转化成一个线性的序列,以不同的方式来遍历,遍历出的序列顺序也不同。
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那么,二叉树都有哪些遍历方式呢?
从节点之间位置关系的角度来看,二叉树的遍历分为4种。

  1. 前序遍历

  2. 中序遍历

  3. 后序遍历

  4. 层序遍历

从更宏观的角度来看,二叉树的遍历归结为两大类。

  1. 深度优先遍历(前序遍历、中序遍历、后序遍历)。
  2. 广度优先遍历(层序遍历)。

广度优先遍历

层序遍历,顾名思义,就是二叉树按照从根节点到叶子节点的层次关系,一层一层横向遍历各个节点。
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上图就是一个二叉树的层序遍历,每个节点左侧的序号代表该节点的输出顺序。

可是,二叉树同一层次的节点之间是没有直接关联的,如何实现这种层序遍历呢?这里同样需要借助一个数据结构来辅助工作,这个数据结构就是队列。

详细遍历步骤如下。

  1. 根节点1进入队列。
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  2. 节点1出队,输出节点1,并得到节点1的左孩子节点2、右孩子节点3。让节点2和节点3入队。
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  3. 节点2出队,输出节点2,并得到节点2的左孩子节点4、右孩子节点5。让节点4和节点5入队。
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  4. 节点3出队,输出节点3,并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。

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  1. 节点3出队,输出节点3,并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。
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  2. 节点5出队,输出节点5,由于节点5同样没有孩子节点,所以没有新节点入队。
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  3. 节点6出队,输出节点6,节点6没有孩子节点,没有新节点入队。
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    到此为止,所有的节点都遍历输出完毕。
    def breadth_travel(self):
        """利用队列实现二叉树的层次遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem)
            if cur_node.left_child is not None:
                queue.append(cur_node.left_child)
            if cur_node.right_child is not None:
                queue.append(cur_node.right_child)

深度优先遍历

  • 二叉树的前序遍历,输出顺序是根节点、左子树、右子树
  • 二叉树的中序遍历,输出顺序是左子树、根节点、右子树
  • 二叉树的后序遍历,输出顺序是左子树、右子树、根节点
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    def preorder(self,node):
        """先序遍历"""
        if node is None:
            return
        print(node.elem,end=' ')
        self.preorder(node.left_child)
        self.preorder(node.right_child)

    def inorder(self,node):
        """中序遍历"""
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.left_child)
        print(node.elem, end=' ')
        self.inorder(node.right_child)

    def postorder(self,node):
        """后序遍历"""
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.left_child)
        self.postorder(node.right_child)
        print(node.elem, end=' ')

由遍历结果反推一棵树

  1. 确定根,确定左子树,确定右子树(根据前序或后序联合中序推导得出)

  2. 在左子树中递归

  3. 在右子树中递归

  4. 打印当前根

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