布朗运动

1.基本概念和性质
对称随机游动：每个单位等可能的向左或向右走一个单位步子。
加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子，若以正确的方式趋近极限，得到的就是布朗运动。
$X(t)=\Delta x(X_1+\cdots+X_{[\frac{t}{\Delta t}]})\\\Delta t:时间间隔\quad \Delta x:步子大小\\其中，X_i=-1\,\, or \,\,1$

$E(X_i)=0\quad Var(X_i)=1$
$E(X_t)=0\quad Var(X(t))=(\Delta x)^2[\frac{t}{\Delta t}]$
若令：$\Delta x=\sigma\sqrt{\Delta t}$，可得：
$E(X_t)=0\quad Var(X(t))=(\Delta x)^2[\frac{t}{\Delta t}]\rightarrow\sigma^2t$
2.布朗运动的定义
随机过程$\{X(t),t≥0\}$如果满足：
$\begin{array}{lcl} (1)X(0)=0\\ (2)\{X(t),t≥0\}有平稳独立增量\\ (3)对于每个t>0，X(t)服从正态分布N(0,\sigma^2t) \end{array}$

则称$\{X(t),t≥0\}$为$Brown$运动，也称为$Wlener$过程。常记为：$\{B(t),t≥0\}$或$\{W(t),t≥0\}$
如果$\sigma=1$，我们称之为标准的$Brown$运动；如果$\sigma≠1$，则可以考虑$\{X(t)/\sigma,t≥0\}$，它是标准$Brown$运动。故不失一般性，可以只考虑标准$Brown$运动的情形。
$Brown$运动是具有下述性质的随机过程$\{B(t),t≥0\}$：
$\begin{array}{lcl} (1)(正态增量)B(t)-B(s)\sim N(0,t-s)，即B(t)-B(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布\\ (2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过去的状态B(u)，0≤u≤s\\ (3)(路径的连续性)B(t),t≥0是t的连续函数 \end{array}$

布朗运动的数字特征：
$\begin{array}{lcl} \mu_X(t)=E(X(t))=0\\ D_X(t)=D(X(t))=\sigma^2t\\ C_X(t)=R_X(s,t)=\begin{cases}E(X(s)X(t))=E(X(s)[X(s)+(X(t)-X(s)))=E[X(s)^2]=\sigma^2s,s≤t\\E(X(s)X(t))=E(X(t)[X(t)+(X(s)-X(t)))=E[X(t)^2]=\sigma^2t,s>t\end{cases}\\\qquad\qquad\qquad\qquad=\sigma^2min(s,t),s,t>0 \end{array}$
例： 设$\{B(t),t≥0\}$是标准$Brown$运动，计算$P\{B(2)≤0\}$和$P\{B(t)≤0，t=0,1,2\}$
$\begin{array}{lcl} 由于B(2)\sim N(0,2)，所以P\{B(2)≤0\}=\frac{1}{2}\\因为B(0)=0，所以P\{B(t)≤0，t=0,1,2\}=P\{B(t)≤0，t=1,2\}=P\{B(1)≤0，B(2)≤0\}\\虽然B(1)和B(2)不是相互独立的，但是B(2)-B(1)和B(1)是相互独立的标准正态分布随机变量。\\于是我们有：\\ P\{B(1)≤0，B(2)≤0\}\\=P\{B(1)≤0，B(1)+(B(2)-B(1))≤0\}\\=P\{B(1)≤0，(B(2)-B(1))≤-B(1)\}\\=\int_{-\infty}^{0} P\{(B(2)-B(1))≤-x\}\phi(x)\, dx\\=\int_{-\infty}^{0} \Phi(-x)\phi(x)\, dx\\=\int_{0}^{\infty} \Phi(x)\phi(-x)\, dx\\=\int_{0}^{\infty} \Phi(x)\phi(x)\, dx\\=\int_{0}^{\infty} \Phi(x)\, d\Phi(x)\\=\int_{\frac{1}{2}}^{1} y\, dy\\=\frac{3}{8} \end{array}$

来源：CSDN

作者：凛冬_将至

链接：https://blog.csdn.net/qq_45669448/article/details/103771954