1.9 各种特殊类型的环

§9 各种特殊类型的环

下面介绍环的一些重要类型：
定义1.9.1（幺环）

具有单位元素的环称为幺环，其单位元素简记为 $1$ .

设 $L$ 为一个环。若 $L$ 中有一元素 $e$ 具有性质：
$ea = ae = a, \forall a \in L,$
则称 $e$ 为环 $L$ 的单位元素。

定义1.9.2（单位）

若幺环 $L$ 的一对元素 $a,b$ 满足 $ab = 1$，则 $b(a)$ 称为 $a(b)$ 的右（左）逆。

若 $a$ 既有左逆又有右逆，则 $a$ 的左、右逆相等，简称为 $a$的逆。 此时 $a$ 称为 $L$ 的一个可逆元素，也成为 $L$ 的一个单位。

定义1.9.3（零因子）

设 $a \in L,a \neq 0.$ 若有元素 $b \in L, b \neq 0$,使 $ab = 0$，则元素 $a$ 称为一个左零因子。同样地，可以定义右零因子

若在环 $L$ 中不存在零因子，则在环 $L$ 中消去律成立。

定义1.9.4（交换环）

环对加法满足交换律，因为所有的环都是Abel群。若环 $L$ 对乘法满足交换律，则 $L$ 称为交换环。

定义1.9.5（整环）

无零因子的交换幺环，且 $1 \neq 0$，称为整环。显然，整数环 $\mathbb{Z}$ 是整环。

定义1.9.6（域）

若环 $F$ 是交换幺环，且至少含有两个元素，且全体非零元素对乘法成一个群，则环 $F$ 称为域。

域 $F$ 的全体非零元素对乘法成一个交换群意味着： $F$ 中每个非零元素都有逆元素。从而知：域中没有零因子，从而域一定是整环。

定理1.9.1

有限整环是域。

证明

设 $L$ 为含有 $n$ 个元素的整环，其元素为:
$a_{1},a_{2},\dotsb,a_{n}，其中a_{1} = 1.$

取 $L$ 中任一非零元素 $a$，作元素：
$aa_{1},aa_{2}, \dotsb,aa_{n}.$
由消去律知:这 $n$个元素一定是两两不同的。由他们的个数知：这些元素就是 $L$ 的全部元素，故其中必有 $1$ 。即：
对每一个给定的 $a \in L$，存在一个数 $i$，使得 $aa_{i} = 1.$

由 $a$ 的任意性知： $L$ 中每个元素都有与之对应的逆元素。因而 $L$ 是域。$\blacksquare$

定义1.9.7（子域）

若域 $F$ 的一个子环 $S$ 是域，则称 $S$ 是 $F$ 的一个子域。

定义1.9.8（体）

若环 $L$ 是幺环，且至少含有两个元素，且全体非零元素对乘法成一个群，则称 $L$ 为体。

来源：CSDN

作者：齐次线性方程组

链接：https://blog.csdn.net/u010186354/article/details/104050742