题目大意：
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
法一：O(n^2)
思路:转化成子问题：求以ak（k=1，2，3。。。N）为终点（即上升子序列中最右边的数）的最长上升子序列的长度。该问题只和数字的位置有关，因而序列中数的位置k就是“状态”，而状态“k“对应的值就是以ak作为终点的最长上升子序列的长度。假定maxlen（k)表示以ak作为终点的最长上升子序列的长度，则：
maxlen（1)=1;
maxlen(k)=max{maxlen(i):1<i<k且ai<ak且k！=1｝+1
这个状态转移方程的思想是：maxlen（k)的值就是在ak左边，终点小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1.因为ak左边任何终点小于ak的子序列加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。
以下是代码：
#include <stdio.h>
#define MAX 1000 //千万别加‘；’
int seq[MAX+10];
int seqlen[MAX+10];
int main()
{
int i,j,k,N,max,maxlen=1;
scanf("%d",&N);
seqlen[1]=1; //seqlen数组存以第i个数为终点的最长上升序列
for(i=1;i<=N;i++)
scanf("%d",&seq[i]); //seq数组保存序列数组
for (i=2;i<=N;i++)
{
max=0; //max是用于计算从seq[1]到seq[i-1]的最长上升子序列的值
for (j=1;j<=i-1;j++)
{
if(seq[j]<seq[i]&&seqlen[j]>max) //在前i-1个序列中，寻找以终点小于seq[i]的最长的子序列，即最优子状态
max=seqlen[j];
}
seqlen[i]=max+1;
if(seqlen[i]>maxlen) //seqlen中保存的是第i个数为终点的最长上升序列，找出这个数组中最大的值即为最优序列长度
maxlen=seqlen[i];
}
printf("%d\n",maxlen);
return 0;
}
法二：复杂度O(nlogn)
但法一有个弱点:若MAX的值太大就会超时，因而需要优化。
思路：考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].
按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
这时注意到d的两个特点（重要）：
1. d[k]在计算过程中单调不升；
2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。
利用这两个性质，可以很方便的求解：
1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：
2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）
否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define M 41000
int a[M];
int d[M];
int binsearch(int key,int *d,int low,int high)
{
while(low<=high)
{int mid=(low+high)/2; //mid=(low+high)>>1
if(d[mid]<key&&d[mid+1]>=key) //此处的二分法是为了找出d【】数组中从头开始第一个比key小的值，然后插入key
return mid;
else
if(d[mid]>key)
high=mid-1;
else low=mid+1;
}
}
int LIS(int *a,int n,int *d)
{
int i,j,len=1;
d[1]=a[1];
for(i=2;i<=n;i++)
{
if(d[len]<a[i])
j=++len;
else
j=binsearch(a[i],d,1,len)+1; //此处的加1不能忘了。
d[j]=a[i];
}
return len;
}
int main()
{
int m,k,t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&m);
for(k=1;k<=m;k++)
scanf("%d",&a[k]);
printf("%d\n",LIS(a,m,d));
}
return 0;
}
来源：https://www.cnblogs.com/zhtzhl/archive/2012/08/03/2622219.html