整数四则运算溢出及溢出后的转换

无符号数溢出

1. 加法运算
   对于无符号的短整型（unsigned short int），假设其为1个字节，其取值范围为0 ~ 255（即0 ~ 2^8 - 1），当两个无符号数相加溢出时，舍弃高位保留低位。
   如$a = 255 = (1111\ 1111)_2，b = 10 = (0000\ 1010)_2$，则在不溢出的情况下$a + b = 265 = (0000\ 0001\ 0000\ 1001)$，但实际上最终的结果为$a + b = 9 = (0000\ 1001)$，可以看到其结果就是265 - 256的差（265 % 256）。

2. 乘法运算
   如$a = 64 = (0100\ 0000)_2，b = 4 = (0000\ 0100)_2$，则在不溢出的情况下$a * b = 256 = (0000\ 0001\ 0000\ 0000)_2$，但实际上最终的结果为$a * b = 0 = (0000\ 0000)$，可以看到其结果就是256 - 256的差（256 % 256）。

3. 减法和除法运算不会出现溢出的情况

有符号数溢出

1. 加法运算
   对于有符号的整型（signed short int），假设其为2个字节，则取值范围为-32768 ~ 32767（即2^16 ~ 2^16 - 1)，当两个有符号的运算时，结果的处理更加复杂一些。
   如$a = 32767 = (1111\ 1111\ 1111\ 1111)_2，b = 10 = (0000\ 0000\ 0000\ 1010)_2$，则在不溢出的情况下$a + b = 32778 = (0000\ 0001\ 0000\ 0000\ 0000\ 0101)_2$，但实际的结果为$a + b = -32759，complement_{a+b}=(1000\ 0000\ 0000\ 1001)_2，32759=(0111\ 1111\ 1111\ 0111)_2$，我们知道在计算机存储中，负数表示为其正数的补码+1，所以这里应该有$~(complement - 1) = 32759$，验证如下：
   $complement_{a+b} - 1 = (1000 0000 0000 1001)_2 - 1 = (1000 0000 0000 1000)_2$
   $(1000 0000 0000 1000)_2 = (0111\ 1111\ 1111\ 0111)_2 = 32759$

我们知道，对于一个有符号的int型的整数，其取值范围为[-32768, 32767]，且-1的二进制表示形式为1111 1111 1111 1111，但为什么不用1000 0000 0000 0001这样的形式描述呢？因为如果还是以正数表示的方式，那么当一个值为0时，就可能有两种形式，即1000 0000 0000 0000和0000 0000 000 0000，虽然我们知道这两种情况都表示的一个数，但在计算机世界我们不得不通过额外的判定过程来区分这两个结果；另外如果低位采用跟正数一样的表示逻辑，会少容纳-128这个负数，我们知道128=2^16，而如果想要表达-128时，我们不得不多使用一个bit位，共17bit来表示这个数，这就会造成空间的浪费。
即是说+0依然用0000 0000 0000 0000没有问题，但是-0用1000 000 0000 0000表示不合适，因为这里把-0认为了最大的负数，但可不可以把反过来想，用1000 0000 0000 0000表示最小的负数呢？这正是补码/原码/反码的意义所在，就可以避免掉前面提到的问题。
所以一个负数比如-1在计算机中就存储为1111 1111 1111 1111，即+1的反码再加1

上面的加法过程可以这样来看，一个带符号的short int的整数N，当其为正数时的值超过SHORT_INT_MAX=32767时，可以向前面一位进1，即最高位的符号位由0 => 1，同时溢出了N - SHORT_INT_MAX个数（即32777 - 32767 = 10，0到9），那么就需要有10个不同的负数来表示这一溢出的，由于负数是反向表示的，即需要用[-32768, -32767, -32766, -32765, -32764, -32763, -32762, -32761, -32760, -32759]这10个数表示：
$-32768 - (- 32759) + 1 => 32768 - 32769 + 1 = 9 + 1 = 10$
推导出：正向溢出，求INT_MIN ^ ((a+b) - n*(INT_MAX + 1))，加1等于正数的个数，包含0

同理当其为负数时，如-32768 - 10 = -32778，且小于SHORT_INT_MIN=-32768时，可以向前进位，则最高位由0 => 1，变为了正数，由于负数是反向表示的，那么由负到正应当也做一次变换，即需要前10个最大的正数来表示这一溢出值，即[32767, 32766, 32765, 32764, 32763, 32762, 32761, 32760, 32759, 32758]，因此最终有：
$-32768 - 10 = 32758 = (0111\ 1111\ 1111\ 0111)_2$
推导出：负向溢出，求INT_MAX ^ ((a + b) - n*INT_MIN - 1)，减1是指去除全0的，因为负数是从-1开始统计的，所以需要在正数范围内去除0的表示形式

对于正负数的二进制表示，我们可以想象中在0和-128之前有一个暗箱B，所有的正数（包括0）表示，第几次向B投入一个球，比如0，表示第一次投入一个球，1表示第二次，直到最大次或是溢出；所有的负数，可以想象成此时B内已经塞满了球（结过了[0, INT_MAX]次掀放入），如果想要把B内的球全部取出，需要多少次，如（1000 0000 0000 0000）= -128表示已经取了127次，再取一次就会使得B为空，最终变为0 = (0000 0000 0000 0000)。

2. 乘法运算
   乘法溢出直接取余即可：
   正向溢出：(ab) % INT_MAX
   铜币溢出：(ab) % INT_MIN

3. 减法或除法没有溢出

来源：CSDN

作者：DreammingTime

链接：https://blog.csdn.net/u014445499/article/details/104064419